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Cet article a une forme trop académique ( avril 2019). La forme ressemble trop à un extrait de cours et nécessite une réécriture afin de correspondre aux standards de Wikipédia. N'hésitez pas à l' améliorer. En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles. Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision. Exemple de problème réel [ modifier | modifier le code] Exemple d'un forage pétrolier. Soit un endroit où l'on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue. Arbre de choix maths au collège. Si on effectue un test, cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q encore inconnue. Le test est coûteux mais peut éviter de forer un puits sec. En revanche, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec. Doit-on effectuer le test? Doit-on forer sans effectuer le test? Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques). Un autre exemple [ modifier | modifier le code] On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante: On lance un dé Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.
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La première étape permet de définir un univers Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux événements complémentaires U 1 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 » U 2 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 » On a donc U 1 = { 3; 6} et p ( U 1) = 1/3 puis p ( U 2) = 2/3. Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2. Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω 1 = { N; B; R} sur lequel on applique la probabilité suivante p ( N) = 3/10 p ( B) = 4/10 p ( R) = 3/10. Il s'agit en réalité du transfert à Ω 1 (univers des couleurs possibles d'une boule tirée au hasard dans l'urne 1) d'une équiprobabilité définie sur Ω 1 ' = {N 1, N 2, N 3, B 1, B 2, B 3, B 4, R 1, R 2, R 3} (univers des boules contenues dans l'urne 1 elles-mêmes, considérées ici comme les résultats possibles et équiprobables du tirage dans l'urne 1). Arbre de probabilité — Wikipédia. De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω 2 = { N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.
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A = { 2; 4; 6} donc card A = 3 d'où: A et son événement contraire représentent une partition de l'univers. On a donc l'arbre pondéré: 2/ Expériences successives idépendantes: arbre pondéré composé Lançons maintenant un second dé, à la suite du premier. Soit B l'événement: « le chiffre obtenu au second lancer est un multiple de 3 » B = { 3; 6} donc card B=2 d'où: On a donc l'arbre pondéré pour le second lancer: Il est alors possible de créer un arbre pondéré représentant l'enchaînement des deux lancers: Sachant que l'on a obtenu un nombre pair au premier lancer, on peut obtenir au second lancer: soit un chiffre multiple de 3,, soit un chiffre non multiple de 3. Arbre de choix maths 6. Il en est de même sachant que l'on a obtenu un nombre impair au premier lancer. Le lancer d'un dé étant une expérience absolument aléatoire, le résultat obtenu au second lancer ne dépend pas du résultat obtenu au premier lancer. Les probabilités sur les branches secondaires sont donc les mêmes que celles trouvées plus haut pour le second lancer.
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Autre exemple similaire: nombre de mots de 3 lettres On a 26 choix possibles pour la première lettre, et autant pour les deuxième et troisième lettres. Soit au total, 26 × 26 × 26 = 17 576 mots différents de 3 lettres. 2. Deuxième exemple: Principe de la distribution de rôle Aux dernières élections municipales d'un village, une liste de 6 personnes a été élue. Parmi ces personnes, on doit désigner le bureau exécutif composé du maire, de l'adjoint au maire et du secrétaire de mairie. Combien de bureaux exécutifs différents peut-on créer? Pour visualiser toutes les possibilités, on utilisera l'arbre suivant où A, B, C, D, E, F représentent les 6 personnes. Remarque Dans cet exemple, l'écriture exhaustive des branches de l'arbre serait trop longue à effectuer. Arbre de choix maths online. On reconstitue donc « mentalement » l'arbre, mais on peut aussi en esquisser le début sans tracer toutes les branches. Au 1er niveau, il y a 6 choix de maires différents. Une fois le maire choisi, au deuxième niveau il reste 5 choix pour le maire adjoint.
» Voir aussi [ modifier | modifier le code] Articles connexes [ modifier | modifier le code] Probabilité Probabilités (mathématiques élémentaires) Liens externes [ modifier | modifier le code] 3 exercices interactifs progressifs corrigés sur les arbres de probabilités un logiciel pour générer des arbres de probabilités (png/svg/pdf) Portail des probabilités et de la statistique
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