Limites Suite Géométrique | Je Vous Trouve Très Beau Torrent
La limite d'une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à 1. On considère les suites géométriques de raison q positive. Rappel: Soit une suite ( u n) géométrique de premier terme u 0 et de raison q. On a pour tout n ∈ ℕ: Une suite géométrique u de raison q est définie pour tout n ∈ ℕ par u n + 1 = u n × q. Si q = 1 alors la suite de terme général q n est constante égale à 1. Si q = −1 alors la suite de terme général q n est bornée, et vaut alternativement −1 et 1. Si q = 1 alors lim n → + ∞ q n = 1. Limite des suites géométriques | Limites de suites numériques | Cours première S. Si q > 1 alors 0 1 q 1 donc lim n → + ∞ ( 1 q) n = 0. On a pour tout n ∈ ℕ, e − n = 1 e n et − 1 1 e 1 donc lim n → + ∞ ( 1 e) n = 0 soit lim n → + ∞ e − n = 0. Si 0 ⩽ q 1 alors lim n → + ∞ ( 1 + q + q 2 + … + q n) = 1 1 − q 1 Étudier la limite de suites géométriques Étudier la limite des suites de termes généraux: u n = 2 2 n; v n = 1 2 n et w n = 1 − 2 n 3 n. Pour la suite ( u n), appliquez le théorème; pour ( v n), remarquez que 1 2 n = ( 1 2) n; pour ( w n), « distribuez » le dénominateur.
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cas n°1 Si q = 1 q = 1, q n = 1 q^n = 1 quel que soit n n. Alors: lim q n = 1 n → + ∞ ⇔ lim v 0 × q n v 0 n → + ∞ ⇔ lim v n = v 0 n → + ∞ \large \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{q^n=1}} \Leftrightarrow \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{v 0\times q^nv 0}} \Leftrightarrow \lim\limits {\stackrel{n \to +\infty}{v n=v_0}} cas n°2 Si q < − 1 q < -1, la suite est alternée, c'est-à-dire qu'elle change de signe entre deux termes consécutifs. Lorsque n tend vers l'infini, la valeur absolue |qn| tend vers l'infini. Prenons le cas où v 0 v 0 est positif: pour n positif, v 0 × q n v 0 \times q^n tend vers + ∞ +\infty et pour n n négatif, v 0 × q n v_0 \times q^n tend vers − ∞ -\infty. Démonstration des limites d'une suite géométrique | SchoolMouv. La limite de ( v n) (v n) quand n n tend vers l'infini n'existe pas. De même pour v 0 v 0 négatif. Remarque: Si q = − 1 q = -1. La suite est alternée car soit n n est pair et q n = 1 q^n = 1, soit n n est impair et q n = − 1 q^n=-1. La limite de ( v n) (v n) quand n n tend vers plus l'infini n'existe pas.
Déterminer la limite de cette suite. Limites suite géométrique en. On sait que Un s'écrit: $U_n=-4\times 2^n$ $q>1$ donc on peut écrire que: $\lim_{n\to +\infty} 2^n=+ \infty$ Comme $U_0<0$, on en déduit que: $\lim_{n\to +\infty} U_n=- \infty$ Exemple 2: (Vn) est une suite géométrique de raison $q=0, 98$ et de premier terme $V_0=100000$. Calculer la limite de (Vn). $-1 C'est la cas notamment pour une suite définie par récurrence, cas que nous étudierons dans la suite de ce module. Exercice, variation et limite de suite - Géométrique, algorithme - Terminale. Si ( u n) est croissante et majorée par exemple par 2 alors ( u n) converge mais ne converge pas forcément vers 2. Les théorèmes suivants vont cependant nous permettre d'avoir des renseignements sur la localisation de la limite:
Soit ( u n) une suite de nombres réels convergente. Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang:
u n
M
alors: lim
un M
Il est à noter que même si tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à M, la limite de la suite peut, elle, être égale à M. En effet, si par exemple: alors, pour tout n non nul:
u n or: lim u n=0
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: u n > m
alors: lim un m
et conséquence des deux théorèmes:
Si pour tout n, ou si à partir d'un certain rang: m un M
alors: m lim un M
Ces résultats sont en particuliers utiles dans la recherche de la limite L d'une suite définie par récurrence, et souvent nécessaires pour savoir si l'on peut appliquer le théorème donnant f (L)=L. ♦ Limite d'une
suite: regarde le cours en vidéo
Résumé de la vidéo
Il y a 3 cas possibles
On n'étudie la limite d'une suite qu'en $+\infty$
• La suite admet une limite finie
On dit qu'une suite ( u n) tend vers un
nombre ℓ quand n tend vers +∞
si tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient tous les u n à partir d'un
certain rang. Dans ce cas, on dit que:
( u n) tend vers ℓ $\Updownarrow$
( u n) converge vers
ℓ $\Updownarrow$
lim
n → +∞
u n = ℓ
$\Updownarrow$
( u n) admet une limite finie ℓ
Si suite admet une limite, cette limite est unique. Limites suite géométrique avec. • La suite admet une limite infinie:
On dit qu'une suite ( u n) tend vers +∞
quand n tend vers +∞
si tout intervalle de la forme]A;+∞[, contient tous les u n à partir d'un certain
rang. ( u n) tend vers + ∞ $\Updownarrow$
( u n) diverge vers
+ ∞ $\Updownarrow$
u n = + ∞
• La suite n'admet pas de limite:
Une suite peut n'avoir ni limite finie, ni infinie. Attention! Une suite divergente ne tend pas forcément vers l'infini. Exemple: u n = (-1)n oscille et n'a de limite ni finie, ni infinie. Propriétés:
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée:
3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge. Car d'après 2°:si elle convergeait, elle serait bornée. la réciproque du 2° est fausse. En effet, si nous reprenons l'exemple du dessus: -1 un 1; Et pourtant la suite diverge. 2/ Théorèmes de convergence
Théorèmes de convergence monotone:
* Si ( u n) est croissante et majorée alors ( u n) converge. Limites suite géométrique dans. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si ( u n) est décroissante et minorée alors ( u n) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. Remarque:
Savoir que la suite converge ne donne en rien sa limite mais permet dans certains cas d'appliquer des théorèmes qui permettent de la calculer. Il est ainsi possible, connaissant u 0 (ou
u p) et
q, de calculer
n'importe quel terme de la suite. Pour une suite géométrique de raison
–0, 3 et de
premier terme u 0 = 7, on peut
écrire u n =
u 0 × (–0, 3) n et
ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel
terme de la suite. Par exemple, u 4 = 7 × (–0, 3) 4 = 7 × 0, 0081 = 0, 0567. 2. Somme des puissances d'un réel q
Soit q un
réel et n un entier naturel. On a:
S = 1 + q + q 2 +
… + q n = pour q ≠ 1. Remarque
Pour q
= 1, cette somme
vaut simplement. Démonstration
q 3 +... +
q n En
multipliant S par q on obtient:
qS
= q +
q 2 + q 3 + … +
q n +1. Soustrayons membre à membre ces deux
inégalités:
S – qS = (1 + q +
q 2 + q 3 +... +
q n) – ( q +
q n +
q n +1)
Dans le membre de droite, q, q 2,
q 3,
…, q n s'éliminent. Ainsi, il reste S (1 – q) =
1 – q n +1. En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient. On retiendra que n + 1 est le nombre
de termes dans la somme S. La somme des 10 premières puissances
de 2 est:
S = 1 + 2 + 2 2 +
… + 2 9 =
= 2 10 – 1 = 1023. Disponible en VOD chez Jupiter Film:
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