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): >with(plots): > plot(GAMMA(x),, y=-5.. 5); (10. 402) et la même fonction tracée avec Maple mais dans le plan complexe cette fois-ci et toujours avec en ordonnée le module de la fonction Gamma d'Euler: >plot3d(abs(GAMMA(x+y*I)),,, view=0.. 5, grid=[30, 30], orientation=[-120, 45], axes=frame, style=patchcontour); (10. 403) Cette fonction est intéressante si nous imposons que la variable x appartienne aux entiers positifs et que nous l'écrivons sous la forme suivante: (10. 404) Intégrons par partie cette dernière fonction: (10. 405) Comme la fonction exponentielle décrot beaucoup plus vite que nous avons alors: (10. 406) Dans la littérature, nous retrouvons fréquemment les notations suivantes (qui portent alors à confusion): (10. 407) Ce qui nous amène à récrire le résultat sous une forme plus classique: (10. 408) De la relation, il vient par récurrence: (10. 409) Or: (10. 410) ce qui donne: (10. 411) Donc: (10. 412) ou autrement écrit pour: (10. 413) Un autre résultat intéressant de la fonction gamma d'Euler est obtenu lorsque nous remplaons t par et calculons celle-ci pour.
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Voici l'énoncé d'un exercice assez long que nous allons corriger discutant des propriétés de la fonction Gamma. C'est un exercice qu'on va mettre dans le chapitre des intégrales dont le théorème de convergence dominée. C'est un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l'énoncé: Et c'est parti pour la première question! Question 1 Tout d'abord, posons \forall x \in \mathbb{R}_+^*, \forall t \in \mathbb{R}_+^*, f(x, t) = e^{-t}t^{x-1} D'une part, f est continue par rapport à x sur]0, +∞[. D'autre part, f est continue donc continue par morceaux par rapport à t sur]0, +∞[. De plus, \lim_{t \rightarrow + \infty} t^2f(x, t) =\lim_{t \rightarrow + \infty} t^2 e^{-t}t^{x+1}= 0 Donc au voisinage de +∞, f(x, t) = o \left( \frac{1}{t^2} \right) Donc intégrable au voisinage de +∞. En 0, on a f(x, t) \sim t^{x-1} = \dfrac{1}{t^{1-x}} Qui est bien intégrable si et seulement si x > 0. Finalement, Γ(x) est définie si et seulement si x ∈]0, +∞[. Question 2 On a déjà dit à la question 1 que: f est continue par rapport à x sur]0, +∞[.
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4. 16. FONCTION GAMMA La fonction Gamma d'Euler étant connue, considérons deux paramètres et définissons la " fonction Gamma " (ou " loi Gamma ") comme étant donnée par la relation: (7. 421) En faisant le changement de variables nous obtenons: (7. 422) et pouvons alors écrire la relation sous une forme plus classique que nous trouvons fréquemment dans les ouvrages: (7. 423) et c'est sous cette forme que nous retrouvons cette fonction dans MS Excel sous le nom () et pour sa réciproque par (). Remarques: R1. Si alors et nous retombons sur la loi exponentielle. R2. Si la distribution s'appelle alors la " fonction d'Erlang ". Ensuite, nous vérifions avec un raisonnement similaire en tout point celui de fonction bta que est une fonction de distribution: (7. 424) Exemple: Tracé de la fonction pour en rouge, en vert, en noir, en bleu, en magenta: (7. 425) et tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Gamma de paramètre: (7. 426) fonction Gamma a par ailleurs pour espérance (moyenne): (7.
f est continue donc continue par morceaux par rapport à t sur]0, +∞[. f est définie sur]0, +∞[.
Si oui je pourrais continuer les calculs. Posté par Robot re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:26 Manque le, et le ne va pas. J'ai du mal à voir où ça mène. Bon courage! Posté par ErenJaeger re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:40 Ah oui j'ai raté le dz. Je trouve le 2 avec non? Je suis très mauvais en changement de variable je n'ai pas eu de cours sur la théorie. Posté par Robot re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:48 Et comment fait le 2 pour passer du dénominateur au numérateur? Posté par ErenJaeger re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:51 hahahaha, c'est de l'ancienne magie voodoo effectivement erreur. Merci Posté par ErenJaeger re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:03 Bien, je cherche mais je ne trouve rien. Je posterai la correction Mardi ou Mercredi. Merci de m'avoir aidé. Je vais chercher dans la direction Posté par Robot re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:15 On trouve facilement des choses sur la toile. Comme ici: Posté par ErenJaeger re: Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:20 Ah, je voulais essayer de trouver tout seul, mais merci ceci va me faciliter la tâche... Posté par ErenJaeger re: Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 18:43 Bien j'ai la correction pour ceux que ca peut interesser.
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