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Tuesday, 9 July 2024

La racine de l'arbre correspondant à $\Omega$. De cette racine, on fait partir $p$ branches vers les noeuds $A_1, \dots, A_p$. Sur chaque branche, on écrit la probabilité $P(A_i)$ que l'événement se réalise. De chacun des noeuds $A_1, \dots, A_p$, on fait partir $q$ branches vers les feuilles $B_1, \dots, B_q$. Sur la branche liant le noeud $A_i$ à la feuille $B_j$, on écrit la probabilité condionnelle $P_{A_i}(B_j)$. Le script suivant, créé par Alain Busser de l'Irem de la Réunion, permet d'automatiser les calculs réalisés avec un arbre de probabilité de profondeur 2. A 0. 6 0. 4 0. 75 B 0. 25 0. 7 0. 3 Actuellement, on a P(A)= 0. 6 et P( A)= 0. 4. P A (B)= 0. 75 et P A ( B)= 0. 25. P A (B)= 0. 7 et P A ( B)= 0. 3. Alors P(A∩B)= 0. 6 × 0. 75 = 0. 45, et P( A ∩B)= 0. 4 × 0. 7 = 0. 28, d'où P(B)= 0. 45 + 0. 28 = 0. 73 P(A∩ B)= 0. 25 = 0. 15, et P( A ∩ B)= 0. 3 = 0. 12, d'où P( B)= 0. 15 + 0. 12 = 0. 27

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Il s'agit en réalité du transfert à Ω 1 d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}. De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω 2 ={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5. L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant: La lecture des probabilités se fait alors aisément: Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire: Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire: La probabilité de tirer une boule noire est alors: [ modifier] Définitions et propriétés On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé p A ( B). On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle: (produit des chemins).

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Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles. Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision, en particulier appliquée à la détection et au forage pétroliers Sommaire 1 Exemple de problème réel 2 Le même exemple, ramené à sa partie essentielle 3 Définitions et propriétés 4 Voir aussi 4. 1 Articles connexes 4. 2 Liens externes [ modifier] Exemple de problème réel Soit un endroit où l'on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue. Si l'on effectue un test, cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q encore inconnue; le test est coûteux, mais peut éviter de forer un puits sec; en revanche, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec. Doit-on effectuer le test? Doit-on forer sans effectuer le test? Voir plan d'expérience, Bandit manchot (mathématiques).

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NB: comme les deux tirages sont indépendants, les branches de deuxième niveau B-B et N-B sont affectées de la même probabilité (celle de tirer une blanche dans B2), et il en est de même pour les branches B-N et N-N.

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» Voir aussi Articles connexes Probabilité Probabilités (mathématiques élémentaires) Liens externes 3 exercices interactifs progressifs corrigés sur les arbres de probabilités Portail des probabilités et de la statistique

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