Produit Scalaire Dans L Espace — Les Étapes Clés Du Dépôt De Marque | Inpi.Fr
= ' Car AC'( θ) D'après ces expressions, le produit scalaire de deux vecteurs n'est nul qu'à l'une de ces conditions: - Au moins l'un des vecteurs est nul - L'angle θ est de π (2 π), les deux vecteurs sont donc orthogonaux. 2 Expression analytique Si les vecteurs et ont pour coordonnées (x; y; z) (x'; y'; z') alors leur produit scalaire peut être exprimé à partir ces coordonnées:. = x. x' + y. y' + z. z' Propriétés du produit scalaire dans l'espace Le propriétés sont les mêmes que dans un plan. La commutativité du produit scalaire: Pour tous vecteurs et,. =. Commutativité des facteurs réels: Pour tous vecteurs et et toute constante réelle k: k(. ) = (k). (k) Distributivité: Pour tous vecteurs, et:. ( +) =. +. Identités remarquables: Pour tous vecteurs et: ( +) 2 = 2 + 2. + 2 Pour tous vecteurs et: ( -) 2 = 2 -2. + 2 Pour tous vecteurs et: ( +). ( -) = 2 - 2
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1. Produit scalaire Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires (voir chapitre précédent). On peut alors définir le produit scalaire dans l'espace à l'aide de la définition donnée en Première pour deux vecteurs d'un plan. La plupart des propriétés vues en Première seront donc encore valables pour le produit scalaire dans l'espace, en particulier pour tous vecteurs u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v}: u ⃗. v ⃗ = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ × ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ × cos ( u ⃗, v ⃗) \vec{u}. \vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right) u ⃗. v ⃗ = 1 2 ( ∣ ∣ u ⃗ + v ⃗ ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 − ∣ ∣ v ⃗ ∣ ∣ 2) \vec{u}. \vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}\right) u ⃗ 2 = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 \vec{u}^{2} = ||\vec{u}||^{2} La notion d' orthogonalité de vecteurs vue en Première est encore valable dans l'espace. Pour tous vecteurs u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v}: u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v} sont orthogonaux ⇔ u ⃗. v ⃗ = 0 \Leftrightarrow \vec{u}. \vec{v}=0.
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Ainsi est l'ensemble des points tels que et soit orthogonaux. Il s'agit donc du plan passant par dont un vecteur normal est. Exemple: On considère le plan d'équation. Un vecteur normal à ce plan est. Le point appartient au plan car:. Publié le 26-12-2017 Merci à Eh01 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche Cette fiche Forum de maths Produit scalaire en terminale Plus de 1 374 topics de mathématiques sur " produit scalaire " en terminale sur le forum.
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Les principales distinctions concernent les formules faisant intervenir les coordonnées puisque, dans l'espace, chaque vecteur possède trois coordonnées. Propriété L'espace est rapporté à un repère orthonormé ( O; i ⃗, j ⃗, k ⃗) \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) Soient u ⃗ \vec{u} et v ⃗ \vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives ( x; y; z) \left(x; y; z\right) et ( x ′; y ′; z ′) \left(x^{\prime}; y^{\prime}; z^{\prime}\right) dans ce repère. Alors: u ⃗. v ⃗ = x x ′ + y y ′ + z z ′ \vec{u}. \vec{v} =xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime} Conséquences ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 ||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} A B = ∣ ∣ A B → ∣ ∣ = ( x B − x A) 2 + ( y B − y A) 2 + ( z B − z A) 2 AB=||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}} 2. Orthogonalité dans l'espace Définition Deux droites d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales si et seulement si il existe une droite qui est à la fois parallèle à d 1 d_{1} et perpendiculaire à d 2 d_{2} d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales Remarque Attention à ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires.
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