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Proposition: Soit $X$ une famille de vecteurs de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $$\vect(X)\subset F\iff \forall u\in X, \ u\in F. $$ Somme de sous-espaces vectoriels Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$ l'espace vectoriel noté $F+G$ défini par $$F+G=\{x+y;\ x\in F, \ y\in G\}. $$ Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ est unique. Cours sur les hommes aiment. On note alors $F\oplus G$. Proposition: Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\{0\}$. On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ s'ils sont en somme directe et si $F\oplus G=E$. Plus généralement, on définit la somme de $p$ sous-espaces vectoriels $F_1, \dots, F_p$ de $E$ par $$F_1+\cdots+F_p=\{x_1+\dots+x_p;\ x_1\in F_1, \dots, x_p\in F_p\}. $$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$. La somme $F_1+\cdots+F_p$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F_1+\cdots+F_p$ sous la forme $x_1+\dots+x_p$ avec $x_i\in F_i$ est unique.

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Ceci revient à dire que si $x_1+\dots+x_p=0_E$ avec $x_i\in F_i$, alors $x_i=0$. Attention! On ne peut pas caractériser le fait que $F_1, \dots, F_p$ soient en somme directe en vérifiant que $F_i\cap F_j=\{0_E\}$ si $i\neq j$. Applications linéaires Une application $f:E\to F$ est appelée une application linéaire si, pour tous $x, y\in E$ et tous $\lambda, \mu\in \mathbb K$, on a $$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y). $$ On note $\mathcal L(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$, et $\mathcal L(E)$ si $E=F$. Une application linéaire de $E$ dans $E$ s'appelle aussi un endomorphisme de $E$. L'application $id_E:E\to E$, $x\mapsto x$, est linéaire et s'appelle l'application identité de $E$. Pour $\lambda\in\mathbb K$, l'application $E\to E$, $x\mapsto \lambda x$, est une application linéaire et s'appelle l' homothétie de rapport $\lambda$. Dividendes - La finance pour tous. Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire. La composée d'applications linéaires est linéaire. On note souvent $vu$ au lieu de $v\circ u$, et $u^k$ pour $u\circ\cdots\circ u$.

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