Propriétés Produit Vectoriel Du: Chauffeur De Personnes - Blackstar Recrute À Genève
De norme, o est l'angle entre et Commençons par la première propriété P3. 1 (première importance en physique! ): (12. 111) ce qui montre bien que le vecteur est perpendiculaire au vecteur résultant du produit vectoriel entre et! Terminons avec la deuxième propriété P3. 2 (aussi de première importance en physique! ): Soit le carré de la norme du produit vectoriel. D'après la définition du produit vectoriel nous avons: (12. 112) Donc finalement: (12. 113) Nous remarquerons que dans le cas o E est l'espace vectoriel géométrique, la norme du produit vectoriel représente l'aire du parallélogramme construit sur des représentants et d'origine commune. (12. 114) Si et linéairement indépendants, le triplet et donc aussi le triplet sont directs. En effet, étant les composantes de (dans la base), le déterminant de passage de (par exemple) s'écrit: (12. 115) Ce déterminant est donc positif, puisqu'au moins un des n'est pas nul, d'après la troisième propriété d'indépendance linéaire du produit vectoriel.
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Le produit vectoriel, propriétés Sur base de la définition géométrique du produit vectoriel (qui dit que le vecteur résultant du produit vectoriel de deux vecteurs a pour module le produit de leur modules et du sinus de l'angle entre eux et a pour orientation celle donnée par la règle de la main droite), nous démontrons que le produit vectoriel n'est pas commutatif (ou plus exactement, il est anti-commutatif ou anti-symétrique), qu'il n'est pas associatif et qu'il est distributif par rapport à la loi d'addition vectorielle. Nous montrons à cette occasion que le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même donne toujours le vecteur nul. Nous justifions l'intérêt de ces propriétés en disant qu'elles nous servirons à établir une règle de calcul simple du produit vectoriel de deux vecteurs dont on connaît les composantes.
Beaucoup d'algèbres de Lie sont des sous-espaces de l'ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes. Leur produit, appelé crochet de Lie, est alors le commutateur des matrices \[(A, B)\mapsto [A, B]=AB-BA\] Nos deux jumeaux sont isomorphes à des algèbres de Lie de matrices bien connues. Les produits vectoriels « classiques » $(E, \wedge)$, ceux dont j'ai parlé au début de ce billet, sont isomorphes à l'algèbre des matrices carrées de taille $3$ à coefficients réels et antisymétriques, qu'on note usuellement $so(3)$ [ 3]: \[ \begin{pmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -* a_2&a_1&0 \end{pmatrix} \] Ce n'est pas bien difficile à vérifier ce que, conformément à l'esprit de ce billet, nous ne ferons pas. Le « jumeau » est quant à lui isomorphe à l'algèbre $sl(2, \mathbb{R})$ des matrices réelles de dimension $2$ et de trace nulle: a&b\\ c&-a et $\beta$ est une forme bilinéaire de signature $(+, -, -)$.
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