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Saturday, 27 July 2024

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On a: On en déduit que est vraie. On conclut par récurrence que: Exemple 2: Exercice: Montrer par récurrence que: On pose: Initialisation: Pour: Donc est vraie. Hérédité: Soit un entier naturel tel que et supposons que est vraie. Montrons que est vraie. Or, puisque On en déduit et il s'ensuit que est donc vraie. Suites Récurrentes Exercices Corrigés MPSI - UnivScience. On conclut par récurrence que: Exemple 3: Application aux suites Prérequis: Les suites numériques Exercice: Soit une suite avec définie par: Montrons par récurrence que. On pose Initialisation: Pour on a: La proposition est vraie. Hérédité: Soit un entier naturel et supposons que est vraie. Montrons que dans ce cas, l'est aussi. On a Donc Or, puisque, on a: Cela veut dire que est vraie. On conclut par récurrence que: IV- Supplément: les symboles somme et produit: 1- Symbole Le symbole mathématique permet d'exprimer plus simplement des sommes et donc des expressions mathématiques, par exemple, la somme peut s'écrire: Ce terme se lit "somme pour allant de 0 à 10 de ". Cela signifie que l'on fait prendre au nombre toutes les valeurs entières entre 0 et 10 et qu'on fait la somme des nombres: On met la première valeur entière en bas du symbole, dans notre cas c'est 0.

1. c. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur croissance, majoration et convergence. On a: $u_0\text"<"1$; donc, d'après le 1. a., $(v_n)$ est majorée (par 1). Or, d'après le 1. b., $(v_n)$ est croissante. Par conséquent, $(v_n)$ est convergente. 2. Soit $n$ un entier naturel. $w_{n+1}-w_n={1}/{v_{n+1}-1}-{1}/{v_n-1}={1}/{{1}/{2-v_n}-1}-{1}/{v_n-1}={1}/{{1-(2-v_n)}/{2-v_n}}-{1}/{v_n-1}={2-v_n}/{-1+v_n}-{1}/{v_n-1}$ Soit: $w_{n+1}-w_n={2-v_n-1}/{v_n-1}={1-v_n}/{-1+v_n}=-1$ Donc, pour tout $n$ entier naturel, $w_{n+1}-w_n=-1$. Et par là, $(w_n)$ est arithmétique de raison -1. Notons ici que $w_0={1}/{v_0-1}={1}/{0-1}=-1$. 2. D'après le 2. a., $w_n=w_0+n×(-1)=-1-n$. Et comme $w_n={1}/{v_n-1}$, on obtient: $v_n=1+{1}/{w_n}=1+{1}/{-1-n}={-1-n+1}/{-1-n}={-n}/{-1-n}={n}/{n+1}$. Exercice récurrence suite sur le site. Donc, pour tout naturel $n$, $v_n={n}/{n+1}$. 3. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les opérations sur les limites. Pour lever l'indétermination, on factorise alors les termes "dominants" du quotient et on simplifie.

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