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Monday, 19 August 2024
Soit $(]a, b[, u)$ une solution de l'équation différentielle $x'=f(t, x)$ vérifiant $u(t_0)=x_0$ où le point $(t_0, x_0)$ est dans l'entonnoir. Montrer que pour tout $t\in[t_0, b[$, le point $(t, u(t))$ est dans l'entonnoir. En déduire que si $(]a, b[, u)$ est une solution maximale, alors $b=+\infty$. Exercices corrigés -Équations différentielles non linéaires. On considère l'équation différentielle $x'=x^2-t$, et $u$ la solution maximale vérifiant $u(4)=-2$. Montrer que $u$ est définie au moins sur $[4, +\infty[$ et qu'elle est équivalente à la fonction $t\mapsto -\sqrt t$ au voisinage de $+\infty$.
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Prouver que l'ensemble des points $M(t)$, pour $t\geq 0$, ne peut pas être contenu dans $Q_1$. On pourra utiliser le lemme suivant: si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est une fonction dérivable telle que $f'$ admet une limite non-nulle en $+\infty$, alors $|f|$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$. Enoncé Soient $a, b>0$ deux constantes positives et $x_0 > 0$, $y_0 > 0$ donnés. Fonction linéaire exercices corrigés les. Considérons le système différentiel: $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=& -(b+1)x+x^2y+a \\ y'&=&bx-x^2y\\ x(0)&=&x_0\\ y(0)&=&y_0 Dans la suite on note $(x, y)$ une solution maximale du système différentiel, définie sur $[0, T_m[$. Soit $ \overline{t} \in [0, T_m[$ tel que $x(\overline{t})=0$. Démontrer que $x'(\overline{t})>0$, puis que $ x(t)>0$ pour tout $t\in [0, T_m[$. Démontrer que de même $y(t) >0$ pour tout $ t \in [0, T_m$[. En remarquant que $(x+y)'(t)\leq a$ pour tout $t \in [0, T_m[$, démontrer que $T_m =+\infty$ Calculer la dérivée de $t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}$. En déduire que, pour tout $0<\gamma <\displaystyle\frac{a}{b+1}$, il existe $T_{\gamma}>0$, indépendant de $x_0 >0$ et de $y_0 >0$ tel que $x(t)\geq \gamma$ pour tout $t\geq T_{\gamma}$.

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Soit $\beta\in]0, \alpha[$. Démontrer qu'il existe $C>0$ tel que $x(t)\leq C\exp(-\beta t)$ pour tout $t\geq 0$. Enoncé On considère le système différentiel suivant: $$\left\{\begin{array}{rcl} x'&=&2y\\ y'&=&-2x-4x^3 \end{array}\right. $$ Vérifier que ce système vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz. Soit $(I, X)$ une solution maximale de ce système, avec $X(t)=(x(t), y(t))$. Pourcentage - Fonctions linéaires - Fonctions affines - 3ème - Exercices corrigés - Brevet des collèges. Montrer que la quantité $x(t)^2+y(t)^2+x(t)^4$ est constante sur $I$. En déduire que cette solution est globale, c'est-à-dire que $I=\mathbb R$. Soit donc $X=(x, y)$ une solution maximale du système, définie sur $\mathbb R$, et posons $k=x(0)^2+y(0)^2+x(0)^4$. On note $C_k$ la courbe dans $\mathbb R^2$ d'équation $$x^2+x^4+y^2=k. $$ L'allure de la courbe $C_k$ (dessinée ici pour $k=4$) est la suivante: On suppose que $x(0)>0$ et $y(0)>0$. Dans quelle direction varie le point $M(t)=(x(t), y(t))$ lorsque $t$ augmente et $M(t)$ appartient au premier quadrant $Q_1=\{(x, y)\in\mathbb R^2:\ x\geq 0, y\geq 0\}$?

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