Peut-On Dire Que La Nature Fait Bien Les Choses ? 21/10/2021: Inégalité De Convexité
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- Inégalité de convexité généralisée
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La Nature Fait Bien Les Choses 2
Si nous disons de tel ou tel élément naturel qu'il est bon ou mauvais, utile ou nuisible, nous nous plaçons d'un point de vue humain. Il ne faudrait pas dire que tel fruit est bon mais qu'il est bon pour les hommes. Ce qui est bon pour notre espèce peut en effet être nuisible pour une autre et réciproquement. Utiliser des insecticides pour protéger nos récoltes est utile pour nous mais non pas pour les insectes que nous détruisons par exemple. Finalement il faut voir notre monde comme un écosystème avec un ensemble de vivants constitué de telle sorte qu'aucune espèce ne disparaisse mais qu'inversement aucune ne prolifère exagérément par rapport aux autres. Or, un écosystème n'est en soi ni bon, ni mauvais. » ↓↓↓ APERÇU DU DOCUMENT ↓↓↓ Liens utiles La nature fait-elle bien les choses? NATURE DES CHOSES (DE LA), De natura rerum. Lucrèce - résumé de l'oeuvre NATURE DES CHOSES (De la) NATURE DES CHOSES SELON LEURS PROPRES PRINCIPES (De la) de Bernardino Telesio Les rapports nécessaires dérivant de la nature des choses - MONTESQUIEU Le document: " La nature fait elle bien les choses " compte 1273 mots.
La Nature Fait Bien Les Choses Se
Dire que la nature fait bien les choses, ne serait-ce pas une proposition absurde, puisqu'elle fait des choses qui ne peuvent être bonnes que pour certains qui la jugent, mais pas nécessairement pour tous? (... )
Cela revient à vouloir naturaliser ce qui relève de la rationalité humaine, c'est-à-dire de sa capacité à décider et concevoir un bien. Pour autant, il ne s'agit pas de négliger la nature puisqu'il reste vrai que c'est en elle que nos actions se déroulent. Mais cette nature est modifiée par nos actions et ce n'est donc plus à elle immédiatement que nous avons affaire. Finalement la nature n'est pour nous que ce qui s'oppose à notre volonté de produire et de changer ce qui nous est donné. Ce qui indique aussi que pour nous, quoiqu'on en dise, la nature ne fait pas bien les choses puisque nous ne cessons de la transformer. Mais, si nous ne pouvons chercher dans la nature un bien qui serait pour nous un modèle, il reste qu'elle se présente comme une nécessité: celle de notre condition. Nous pourrons penser que dès lors elle est pour nous une limite à notre emprise technique puisqu'elle ne saurait être modifiée sans danger pour nous. Mais nous ne pouvons dire pour autant que la nature se venge puisqu'elle...
Nous allons voir plusieurs applications de l'inégalité de Jensen. Application 1: Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique [ modifier | modifier le wikicode] Propriété Soient, réels strictement positifs. On a:. Autrement dit la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Démonstration La fonction est convexe car. En appliquant le corollaire, on obtient: Application 2: Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique [ modifier | modifier le wikicode] Considérons la fonction définie par: On a alors:. Par conséquent, est convexe. et en élevant les deux membres à la puissance 1/p, on obtient:. Remarque Si l'on pose dans la formule précédente, on obtient. Le second membre représente la moyenne quadratique des. Par conséquent, compte tenu de l'application 1, on peut dire que la moyenne arithmétique est toujours comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne quadratique. C'est-à-dire que:. Application 3: démonstration de l'inégalité de Hölder [ modifier | modifier le wikicode] L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chapitre 1).
Inégalité De Convexité Démonstration
Forme intégrale [ modifier | modifier le code] Cas particulier [ modifier | modifier le code] Inégalité de Jensen — Soient g une fonction continue de [0, 1] dans] a, b [ (avec –∞ ≤ a < b ≤ +∞) et φ une fonction convexe de] a, b [ dans ℝ. Alors,. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à [ a, b] et φ ∘ g est continue sur [0, 1] donc intégrable. Théorie de la mesure [ modifier | modifier le code] Inégalité de Jensen [ 1], [ 2] — Soient (Ω, A, μ) un espace mesuré de masse totale μ(Ω) égale à 1, g une fonction μ-intégrable à valeurs dans un intervalle réel I et φ une fonction convexe de I dans ℝ. Alors, l'intégrale de droite pouvant être égale à +∞ [ 3]. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à I. Lorsque φ est strictement convexe, les deux membres de cette inégalité sont égaux (si et) seulement si g est constante μ- presque partout [ 4]. De ce théorème on déduit, soit directement [ 2], [ 5], soit via l' inégalité de Hölder, une relation importante entre les espaces L p associés à une mesure finie de masse totale M ≠ 0:, avec égalité si et seulement si est constante presque partout.
Inégalité De Convexité Généralisée
Ensembles convexes Enoncé Soit $C_1$, $C_2$ deux parties convexes d'un espace vectoriel réel $E$ et soit $s\in [0, 1]$. On pose $C=sC_1+(1-s)C_2=\{sx+(1-s)y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C$ est convexe. Enoncé Soit $C_1$ et $C_2$ deux ensembles convexes de $\mathbb R^n$ et $C_1+C_2=\{x+y;\ x\in C_1, \ y\in C_2\}$. Démontrer que $C_1+C_2$ est convexe. Enoncé Pour tout $E\subset\mathbb R^n$, on appelle enveloppe convexe de $E$ l'ensemble $$K(E)=\bigcap_{A\in \mathcal E(E)}A$$ où $\mathcal E(E)$ désigne l'ensemble des convexes de $\mathbb R^n$ contenant $E$. Démontrer que $K(E)$ est convexe. Déterminer $K(E)$ lorsque $E$ est la courbe de la fonction $y=\tan x$ pour $x\in \left]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2\right[$. Inégalités de convexité Enoncé Soient $a, b\in\mathbb R$. Montrer que $\displaystyle e^{\frac{a+b}2}\leq\frac{e^a+e^b}{2}. $ Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1, +\infty[$. En déduire que $\forall a, b>1, \ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.
Inégalité De Connexite.Fr
[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique Exercice 1 4684 Par un argument de convexité, établir (a) ∀ x > - 1, ln ( 1 + x) ≤ x (b) ∀ x ∈ [ 0; π / 2], 2 π x ≤ sin ( x) ≤ x. Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité: ∀ x ∈ [ 0; π / 2], 2 π x ≤ sin ( x) ≤ x ∀ n ∈ ℕ, ∀ x ≥ 0, x n + 1 - ( n + 1) x + n ≥ 0 Solution La fonction x ↦ sin ( x) est concave sur [ 0; π / 2], la droite d'équation y = x est sa tangente en 0 et la droite d'équation y = 2 x / π supporte la corde joignant les points d'abscisses 0 et π / 2. Le graphe d'une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l'inégalité. La fonction x ↦ x n + 1 est convexe sur ℝ + et sa tangente en 1 a pour équation y = ( n + 1) x - n . Le graphe d'une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l'inégalité. Montrer que f:] 1; + ∞ [ → ℝ définie par f ( x) = ln ( ln ( x)) est concave. En déduire ∀ ( x, y) ∈] 1; + ∞ [ 2, ln ( x + y 2) ≥ ln ( x) ln ( y) .
Le second point se déduit du premier en remplaçant par l'application. Supposons donc désormais décroissante (strictement). D'après la propriété 6, f, étant convexe sur l'intervalle ouvert I, sera continue sur I. Comme, de plus, f est strictement décroissante sur I, on en déduit que f est bijective sur I. Par conséquent f -1 existe. Soit a, b ∈ f(I), posons c = f -1 (a) et d = f -1 (b). Comme f est convexe, on a: f étant décroissante, f –1 sera aussi décroissante et par conséquent, on en déduit: c'est-à-dire: Ce qui montre que f -1 est convexe. Propriété 8 Soit une fonction convexe. Pour toute fonction, si est convexe et croissante alors la composée est convexe; si est concave et décroissante alors est concave. Le second point se ramène au premier en remplaçant par. Supposons donc désormais convexe et croissante. Soient et. Par convexité de, donc, par croissance de, et en appliquant la convexité de au second membre, on obtient:. Propriété 9 Si une fonction est logarithmiquement convexe, c'est-à-dire si est convexe, alors est convexe.