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Sunday, 1 September 2024

La durée d'analyse T doit être grande par rapport à b pour avoir une bonne résolution: T=200. 0 fe=8. 0 axis([0, 5, 0, 100]) On obtient une restitution parfaite des coefficients de Fourier (multipliés par T). En effet, lorsque T correspond à une période du signal, la TFD fournit les coefficients de Fourier, comme expliqué dans Transformée de Fourier discrète: série de Fourier. En pratique, cette condition n'est pas réalisée car la durée d'analyse est généralement indépendante de la période du signal. Voyons ce qui arrive pour une période quelconque: b = 0. 945875 # periode On constate un élargissement de la base des raies. Le signal échantillonné est en fait le produit du signal périodique défini ci-dessus par une fenêtre h(t) rectangulaire de largeur T. La TF est donc le produit de convolution de S avec la TF de h: qui présente des oscillations lentement décroissantes dont la conséquence sur le spectre d'une fonction périodique est l'élargissement de la base des raies. Pour remédier à ce problème, on remplace la fenêtre rectangulaire par une fenêtre dont le spectre présente des lobes secondaires plus faibles, par exemple la fenêtre de Hamming: def hamming(t): return 0.

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C'est donc le spectre d'un signal périodique de période T. Pour simuler un spectre continu, T devra être choisi très grand par rapport à la période d'échantillonnage. Le spectre obtenu est périodique, de périodicité fe=N/T, la fréquence d'échantillonnage. 2. Signal à support borné 2. a. Exemple: gaussienne On choisit T tel que u(t)=0 pour |t|>T/2. Considérons par exemple une gaussienne centrée en t=0: dont la transformée de Fourier est En choisissant par exemple T=10a, on a pour t>T/2 Chargement des modules et définition du signal: import math import numpy as np from import * from import fft a=1. 0 def signal(t): return (-t**2/a**2) La fonction suivante trace le spectre (module de la TFD) pour une durée T et une fréquence d'échantillonnage fe: def tracerSpectre(fonction, T, fe): t = (start=-0. 5*T, stop=0. 5*T, step=1. 0/fe) echantillons = () for k in range(): echantillons[k] = fonction(t[k]) N = tfd = fft(echantillons)/N spectre = T*np. absolute(tfd) freq = (N) for k in range(N): freq[k] = k*1.

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C'est un algorithme qui joue un rôle très important dans le calcul de la transformée de Fourier discrète d'une séquence. Il convertit un signal d'espace ou de temps en signal du domaine fréquentiel. Le signal DFT est généré par la distribution de séquences de valeurs à différentes composantes de fréquence. Travailler directement pour convertir sur transformée de Fourier est trop coûteux en calcul. Ainsi, la transformée de Fourier rapide est utilisée car elle calcule rapidement en factorisant la matrice DFT comme le produit de facteurs clairsemés. En conséquence, il réduit la complexité du calcul DFT de O (n 2) à O (N log N). Et c'est une énorme différence lorsque vous travaillez sur un grand ensemble de données. En outre, les algorithmes FFT sont très précis par rapport à la définition DFT directement, en présence d'une erreur d'arrondi. Cette transformation est une traduction de l'espace de configuration à l'espace de fréquences et ceci est très important pour explorer à la fois les transformations de certains problèmes pour un calcul plus efficace et pour explorer le spectre de puissance d'un signal.

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Cette traduction peut être de x n à X k. Il convertit les données spatiales ou temporelles en données du domaine fréquentiel. (): Il peut effectuer une transformation discrète de Fourier (DFT) dans le domaine complexe. La séquence est automatiquement complétée avec zéro vers la droite car la FFT radix-2 nécessite le nombre de points d'échantillonnage comme une puissance de 2. Pour les séquences courtes, utilisez cette méthode avec des arguments par défaut uniquement car avec la taille de la séquence, la complexité des expressions augmente. Paramètres: -> seq: séquence [itérable] sur laquelle la DFT doit être appliquée. -> dps: [Integer] nombre de chiffres décimaux pour la précision. Retour: Transformée de Fourier Rapide Exemple 1: from sympy import fft seq = [ 15, 21, 13, 44] transform = fft(seq) print (transform) Production: FFT: [93, 2 - 23 * I, -37, 2 + 23 * I] Exemple 2: decimal_point = 4 transform = fft(seq, decimal_point) print ( "FFT: ", transform) FFT: [93, 2, 0 - 23, 0 * I, -37, 2, 0 + 23, 0 * I] Article written by Kirti_Mangal and translated by Acervo Lima from Python | Fast Fourier Transformation.

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show () Cas extrême où f=Fe ¶ import numpy as np Te = 1 / 2 # Période d'échantillonnage en seconde t_echantillons = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons plt. scatter ( t_echantillons, x ( t_echantillons), color = 'orange', label = "Signal échantillonné") plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$) à $Fe=2\times f$") Calcul de la transformée de Fourier ¶ # Création du signal import numpy as np f = 1 # Fréquence du signal A = 1 # Amplitude du signal return A * np. pi * f * t) Durée = 3 # Durée du signal en secondes Te = 0. 01 # Période d'échantillonnage en seconde x_e = x ( te) plt. scatter ( te, x_e, label = "Signal échantillonné") plt. title ( r "Signal échantillonné") from import fft, fftfreq # Calcul FFT X = fft ( x_e) # Transformée de fourier freq = fftfreq ( x_e. size, d = Te) # Fréquences de la transformée de Fourier plt. subplot ( 2, 1, 1) plt. plot ( freq, X. real, label = "Partie réel") plt. imag, label = "Partie imaginaire") plt. xlabel ( r "Fréquence (Hz)") plt.

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On note pour la suite X(f) la FFT du signal x_e(t). Il existe plusieurs implantations dans Python de la FFT: pyFFTW Ici nous allons utiliser pour calculer les transformées de Fourier. FFT d'un sinus ¶ Création du signal et échantillonnage ¶ import numpy as np import as plt def x ( t): # Calcul du signal x(t) = sin(2*pi*t) return np. sin ( 2 * np. pi * t) # Échantillonnage du signal Durée = 1 # Durée du signal en secondes Te = 0. 1 # Période d'échantillonnage en seconde N = int ( Durée / Te) + 1 # Nombre de points du signal échantillonné te = np. linspace ( 0, Durée, N) # Temps des échantillons t = np. linspace ( 0, Durée, 2000) # Temps pour le signal non échantillonné x_e = x ( te) # Calcul de l'échantillonnage # Tracé du signal plt. scatter ( te, x_e, color = 'orange', label = "Signal échantillonné") plt. plot ( t, x ( t), '--', label = "Signal réel") plt. grid () plt. xlabel ( r "$t$ (s)") plt. ylabel ( r "$x(t)$") plt. title ( r "Échantillonnage d'un signal $x(t$)") plt. legend () plt.

0/T plot(freq, spectre, 'r. ') xlabel('f') ylabel('S') axis([0, fe, 0, ()]) grid() return tfd Voyons le spectre de la gaussienne obtenue avec la TFD superposée au spectre théorique: T=20. 0 fe=5. 0 figure(figsize=(10, 4)) tracerSpectre(signal, T, fe) def fourierSignal(f): return ()*(**2*f**2) f = (start=-fe/2, stop=fe/2, step=fe/100) spectre =np. absolute(fourierSignal(f)) plot(f, spectre, 'b') axis([-fe/2, fe, 0, ()]) L'approximation de la TF pour une fréquence négative est donnée par: La seconde moitié de la TFD () correspond donc aux fréquences négatives. Lorsque les valeurs du signal sont réelles, il s'agit de l'image de la première moitié (le spectre est une fonction paire). Dans ce cas, l'usage est de tracer seulement la première moitié. Pour augmenter la résolution du spectre, il faut augmenter T. Il est intéressant de maintenir constante la fréquence d'échantillonnage: T=100. 0 axis([0, fe/2, 0, ()]) 2. b. Exemple: sinusoïde modulée par une gaussienne On considère le signal suivant (paquet d'onde gaussien): avec.

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