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Wednesday, 17 July 2024

Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par newrine 15-10-15 à 19:01 Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 19:03 mais du coup je n'ai pas exploité la limite donnée non? Posté par Wataru re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 19:13 Salut, Je peux majorer la fonction nulle f(x) = 0 par la fonction g(x) = 1 En effet, pour tout x entre e et +oo on a bien 1 > 0 L'intégrale de 1 de e à +oo diverge grossièrement. Donc l'intégrale de 0 diverge aussi. Cherche l'erreur:3 Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 20:52 euh je ne comprends pas... moi je suis parti de e t jusqu'à en venir à l'inégalité que j'ai proposé... Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 21:18 ha ben l'intégrale de 0 converge! Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 21:20 ha oui j'ai inverser l'inégalité en effet... mais du coup je ne vois toujours pas comment me servir de la limite fournie... Posté par newrine re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 21:57 je n'ai toujours pas trouvé Posté par luzak re: intégrales de Bertrand 15-10-15 à 23:25 Bonsoir!

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M5. 1. Cas: si et s'il existe et tels que: est intégrable sur ssi. M5. 2. Cas où: si et s'il existe et tels que, M5. 3. Cas où: si et s'il existe et tels que, M6. En prouvant que est dominée par une fonction intégrable: M6. Cas: si, il suffit qu'il existe tel que. Ce raisonnement s'applique en particulier lorsque avec. 👍 Cas fréquents d'utilisation: a) si ou avec et continue sur, il est souvent possible de conclure en prouvant que. On pourra en particulier utiliser ce raisonnement lorsque est une fonction polynôme de degré. b) si, où est continue sur (), il suffit de trouver tel que. M6. Cas où: si et s'il existe tel que, on écrit que la fonction est intégrable sur, donc est intégrable sur. M6. Cas où: si et s'il existe tel que, on écrit que la fonction est intégrable sur, donc est intégrable sur. M7. En utilisant un DL: Si et si l'on peut trouver un développement limité de en à l'ordre 2 de la forme, est intégrable sur ssi (justifier le résultat à chaque fois). On peut aussi écrire que et justifier que est intégrable sur ssi.

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4. 1 L'essentiel du cours et exercices d'assimilation 73 a < 1 Si n 2, on écrit 1 n a (ln n) b = 1 n 1− a (ln n) b, et lim n →+∞ n 1− a /(lnn) b =+ ∞. Donc, pour n assez grand n 1− a (ln n) b 1, et 1 n a (ln n) b 1 n. La série diverge par comparaison à la série harmonique. a > 1 Soit a tel que a > a > 1. Si n 2, on écrit 1 n a 1 n a − a (ln n) b. Mais lim n →+∞ n a − a (ln n) b = + ∞. Donc, pour n assez grand 1 n a − a (ln n) b 1, et n a. La série converge par comparaison à une série de Riemann. Remarque Ces résultats sont utilisés dans beaucoup d'exercices d'oraux. Nous vous conseillons vivement de savoir les redémontrer. Application: En majorant chaque terme du produit n! =1 × 2 × · · · ×n par n, on a, pour n 1, l'inégalité n! n n, et donc ln n! n ln n. Finalement v n 1 n ln n. Comme la série de terme général 1/(nln n) est une série de Bertrand divergente (a= b =1), il en résulte que la série de terme général v n diverge. La suite ((ln n) 2 /n) converge vers 0. Comme on a l'équivalente u − 1 ∼ u →0 u, on a donc w n = e (ln n) 2 /n − 1 ∼ n →+∞ (ln n) 2 n.

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La suite u définie par u_n = \dfrac{1}{n \ln(n)} est décroissante. On a donc, d'après le théorème de comparaison série-intégrale: \int_{2}^{N+1} f(t) dt \leq \sum_{n=2}^N u_n \leq u_2 + \int_{2}^{N} f(t) dt Calculons alors l'intégrale: \begin{array}{ll} \displaystyle \int_{2}^{N} f(t) dt &= \displaystyle \int_{2}^{N} \dfrac{1}{t \ln(t)} dt\\ & = \displaystyle\left[\ln(\ln(t))\right]_2^N\\ & \ln(\ln(N)) - \ln(\ln(2)) \end{array} On peut faire de même avec l'autre intégrale: \int_{2}^{N+1} f(t) dt= \ln(\ln(N+1)) - \ln(\ln(2)) Ce qui nous permet de conclure que la série est divergente. Résumé des résultats Si α > 1, la série converge Si α < 1, la série diverge Si α = 1: Si β > 1, la série converge Si β ≤ 1, la série diverge Cet exercice vous a plu? Tagged: Exercices corrigés logarithme mathématiques maths prépas prépas scientifiques riemann Séries Navigation de l'article

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme: ou encore avec au moins une borne où la fonction n'est pas définie et a une limite infinie comme:. Définitions et premières propriétés [ modifier | modifier le wikicode] Définition [ modifier | modifier le wikicode] On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d'en bas): Définition: intégrale généralisée (ou impropre) Soit une fonction définie et continue par morceaux sur un intervalle avec. On appelle intégrale généralisée de entre et la limite suivante:. L'intégrale est dite convergente si cette limite existe et est finie et divergente dans le cas contraire. Le symbole n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe. Exemple Soit. Montrer que converge si et seulement si, et calculer dans ce cas la valeur de cette intégrale.

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