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Soit $z$ un nombre complexe. On appelle série géométrique de raison $z$ la série de terme général $z^n$. Ces sommes partielles sont données par: $$S_n=1+z+\cdots+z^n=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}&\textrm{si}z\neq 1\\ \displaystyle n+1&\textrm{si}z= 1\\ \end{array}\right. $$ On obtient donc facilement que: si $|z|<1$, la série converge, de somme $\frac 1{1-z}$; si $|z|\geq 1$, la série est (grossièrement) divergente, c'est-à-dire que son terme général ne tend pas vers 0.

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Dans ce cas, la formule de série géométrique pour la somme est \[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}\] Exemples A titre d'exemple, nous pouvons calculer la somme des séries géométriques \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},.... \). Dans ce cas, le premier terme est \(a = 1\) et le rapport constant est \(r = \frac{1}{2}\). Alors, la somme est calculée directement comme: \[ S = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\] Ce qui se passe avec la série est \(|r| > 1\) Réponse courte: la série diverge. Les termes deviennent trop grands, comme pour la croissance géométrique, si \(|r| > 1\) les termes de la séquence deviendront extrêmement grands et convergeront vers l'infini. Et si la somme n'est pas infinie Dans ce cas, vous devez utiliser ceci calculatrice de somme de séquence géométrique, dans lequel vous additionnez un nombre fini de termes. Ce site Web utilise des cookies pour améliorer votre expérience.

Mais pourtant, l'idée de somme infinie est un peu déroutante. Qu'entend-on par somme infinie? C'est une bonne question: l'idée de sommer un nombre infini de termes consiste à additionner jusqu'à un certain terme \(N\) puis à pousser cette valeur \(N\) jusqu'à l'infini. Donc précisément, une série infinie est définie comme \[ a_1 + a_2 +... = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \] Donc en effet, ce qui précède est la définition formelle de la somme d'une série infinie. Quelle est la particularité d'une série géométrique En général, pour spécifier une série infinie, vous devez spécifier un nombre infini de termes. Dans le cas de la série géométrique, il suffit de spécifier le premier terme \(a\) et le rapport constant \(r\). Le n-ième terme général de la suite géométrique est \(a_n = a r^{n-1}\), alors la série géométrique devient \[ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \] Un résultat important est que la série ci-dessus converge si et seulement si \(|r| < 1\).

Séries Géométriques (Vidéo) | Algèbre | Khan Academy

Un ensemble de choses qui sont en ordre s'appelle une séquence et lorsque les séquences commencent à suivre un certain modèle, elles sont connues sous le nom de progressions. Les progressions sont de différents types comme la progression arithmétique, les progressions géométriques, les progressions harmoniques. La somme d'une séquence particulière est appelée une série. Une série peut être infinie ou finie selon la séquence, si une séquence est infinie, elle donnera une série infinie tandis que, si une séquence est finie, elle donnera une série finie. Prenons une suite finie: un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, ………. un n La série de cette séquence est donnée par: a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +a 5 +………. a n La Série est également désignée par: La série est représentée à l'aide de la notation Sigma (∑) afin d'indiquer la sommation. Série géométrique Dans une série géométrique, chaque terme suivant est la multiplication de son terme précédent par une certaine constante et selon la valeur de la constante, la série peut être croissante ou décroissante.

5 et bien 0. 5 x 0, 5 ça te donne 0. 25 donc déjà tu es plus petit que ton nombre initial qui était 0. 5 puis ensuite si tu leur multiplie par 0. 5 et battue va reprendre la moitié de 0, 25 ainsi de suite ainsi de suite serre que ce terme air puissance n + 1 caen n tend vers l'infini et bien il faut que tu comprennes que ça va valoir 0 la limite parce que comme je viens de l'expliquer avec régal 0. 5 plus qu mais la puissance 0. 5 lui tu multiplies par 0. 5 pardon plus tu vas obtenir petit et si su multiplier à l'infini tu vas tomber sur 0 ça va tendre vers zéro donc en fait ce terme là va tendre vers zéro si air et compris la valeur absolue de r est compris entre 0 et 1 du coup qu'est ce que ça donne pour la limite est bien la limite quand n tend vers l'infini de la série géométriques cas égal zéro jusqu'à n à foix air puissance qu'à valoir à - 0 puisque ça ça tend vers zéro à x 0 ça va faire zéro à / 1 - elle tout simplement donc assez le premier terme de la série / 1 - la raison

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Un livre de Wikilivres. Les séries géométriques sont simplement des séries qui additionnent tous les termes d'une suite géométrique. Toutes ne convergent pas, la plupart divergeant franchement! Par exemple, la suite géométrique de raison 10 et de premier terme 1 va naturellement diverger, vu que ses termes n'ont de cesse d'augmenter avec le rang. Dans les grandes lignes, il n'y a qu'un seul moyen pour que les termes tendent vers zéro avec le rang: la raison doit être comprise entre -1 et 1. Si c'est le cas, chaque terme sera plus petit (en valeur absolue) que le précédent: les termes diminuant de plus en plus, ils tendent bien vers zéro. Il se trouve que dans ce cas, la série va alors converger. Par contre, une raison de valeur absolue supérieure ou égale à 1 fait diverger la série. Si la raison est égale à 1, la suite est une suite constante, qui va naturellement diverger. Une raison supérieure à 1 va faire que les terme augmentent avec le rang, rendant la série divergente. Dans la suite du chapitre, nous allons voir le cas général, avant de voir des cas particuliers qui méritent d'être étudiés pour eux même.

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