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Friday, 26 July 2024

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Résolution d'inéquations (produit ou quotient). Menu principal > Fonctions affines, droites et équations > Résolution d'inéquations (produit ou quotient) Mode d'emploi Vous devez pour chaque exercice résoudre une inéquation en trois étapes imposées: Remettez à leur place les courbes des deux fonctions f et g. Pour cela déplacez les points rouges qui gardent des coordonnées entières. Complétez le tableau de signes correspondant à f(x)g(x) ou à f(x)/g(x). Pour cela cliquez à l'interieur ou sur les bords des cellules, une ou plusieurs fois, pour changer leur contenu. Les valeurs numériques peuvent être entrées sous forme fractionnaire ou décimale si le nombre est décimal. Les valeurs approchées sont considérées comme fausses. Donnez l'ensemble des solutions de l'inéquation en utilisant les touches du clavier virtuel. En cas de besoin vous pouvez revoir la propriété 6 et son illustration dans la page de rappels de cours sur les fonctions affines. Attendez le chargement complet de la figure GeoGebra avant de cliquer sur le bouton "Démarrer la série d'exercices".

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Étude du signe de 2 x - 6 x + 4 x -∞ -4 3 +∞ Signe de 2x-6 - - 0 + Signe de x+4 - 0 + + Signe de 2 x - 6 x + 4 + - 0 + 1) 2x-6=0 ⇔ x=3 et x+4=0 ⇔ x=-4 On place -4 et 3 dans la première ligne du tableau 2) x ↦ 2x-6 est croissante (car 2>0) donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+). x ↦ x+4 est croissante (car 1>0) donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+). 3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne et on ajoute une double barre sous -4 dans la dernière ligne pour montrer que le dénominateur ne paut pas être égal à 0. Résoudre une inéquation produit ou une inéquation quotient: Pour résoudre une inéquation produit ou quotient: 1) On dresse le tableau de signe de l'expression 2) On repère sur la dernière ligne le signe voulu 3) On note l'ensemble solution sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles en faisant attention au sens des crochets. Résoudre l'inéquation 2 x - 6 x + 4 ≥ 0 1) On dresse le tableau de signes de 2 x - 6 x + 4 2) On lit sur la dernière ligne que 2 x - 6 x + 4 est supérieur ou égal à 0 lorsque x < -4 et lorsque x ≥ 3 3) L'ensemble solution S de l'inéquation est donc: S =]-∞; -4[ U [3; +∞[.

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Equations et inéquations Résoudre dans R \mathbb{R} les équations suivantes: ( − 3 x − 4) ( 4 x + 5) = 0 \left(-3x-4\right)\left(4x+5\right)=0 Correction ( − 3 x − 4) ( 4 x + 5) = 0 \left(-3x-4\right)\left(4x+5\right)=0. Il s'agit d'une e ˊ quation produit nul. \text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul. }} − 3 x − 4 = 0 -3x-4=0 ou 4 x + 5 = 0 4x+5=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons − 3 x − 4 = 0 -3x-4=0 qui donne − 3 x = 4 -3x=4. D'où: x = − 4 3 x=-\frac{4}{3} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 4 x + 5 = 0 4x+5=0 qui donne 4 x = − 5 4x=-5. D'où: x = − 5 4 x=-\frac{5}{4} Les solutions de l'équation sont alors: S = { − 5 4; − 4 3} S=\left\{-\frac{5}{4};-\frac{4}{3}\right\} ( 13 x + 17) ( 14 x + 3) = 0 \left(13x+17\right)\left(14x+3\right)=0 Correction ( 13 x + 17) ( 14 x + 3) = 0 \left(13x+17\right)\left(14x+3\right)=0. }} 13 x + 17 = 0 13x+17=0 ou 14 x + 3 = 0 14x+3=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons 13 x + 17 = 0 13x+17=0 qui donne 13 x = − 17 13x=-17.

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D'où: x = 10 2 x=\frac{10}{2} ainsi x = 5 x=5. D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 6 x − 2 = 0 6x-2=0 qui donne 6 x = 2 6x=2. D'où: x = 2 6 x=\frac{2}{6}. Nous pouvons simplifier la fraction: x = 1 × 2 3 × 2 = 1 3 x=\frac{1\times \cancel{ \color{blue}2}}{3\times \cancel{ \color{blue}2}}=\frac{1}{3} Les solutions de l'équation sont alors: S = { 1 3; 5} S=\left\{\frac{1}{3};5\right\} ( − 21 x + 3) ( − 16 x + 12) = 0 \left(-21x+3\right)\left(-16x+12\right)=0 Correction ( − 21 x + 3) ( − 16 x + 12) = 0 \left(-21x+3\right)\left(-16x+12\right)=0. }} − 21 x + 3 = 0 -21x+3=0 ou − 16 x + 12 = 0 -16x+12=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons − 21 x + 3 = 0 -21x+3=0 qui donne − 21 x = − 3 -21x=-3. D'où: x = 3 21 x=\frac{3}{21} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons − 16 x + 12 = 0 -16x+12=0 qui donne − 16 x = − 12 -16x=-12. D'où: x = 12 16 x=\frac{12}{16}. Nous pouvons simplifier la fraction: x = 3 × 4 4 × 4 = 3 4 x=\frac{3\times \cancel{ \color{blue}4}}{4\times \cancel{ \color{blue}4}}=\frac{3}{4} Les solutions de l'équation sont alors: S = { 3 21; 3 4} S=\left\{\frac{3}{21};\frac{3}{4}\right\}

Signe d'un produit: Pour étudier le signe d'un produit du type (ax+b)(cx+d): 1) On résout chaque équation ax + b = 0 et cx + d = 0 et on note les solutions par ordre croissant dans la première ligne du tableau. 2) On note les signes de ax + b et de cx + d en utilisant le signe d'une fonction affine. 3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne (le produit de deux nombres de même signe est positif, le produit de deux nombres de signes contraires est négatif) Exemple: Étude du signe de (-3x+15)(7+x). x -∞ -7 5 +∞ Signe de -3x+15 + + 0 - Signe de 7+x - 0 + + Signe de (-3x+15)(7+x) - 0 + 0 - 1) -3x+15=0 ⇔ -3x=-15 ⇔ x=5 7+x=0 ⇔ x=-7 On place -7 et 5 dans la première ligne du tableau 2) x ↦ -3x+15 est décroissante car -3<0 donc elle est d'abord positive (+) puis négative (-). x ↦ 7+x est croissante car 1>0 donc elle est d'abord négative (-) puis positive (+). 3) On applique la règle des signes pour compléter la dernière ligne Signe d'un quotient: Pour dresser le tableau de signes d'un quotient du type a x + b c x + d, on procède comme dans le cas d'un produit mais on ajoute sur la dernière ligne une double barre sous la valeur qui annulle le dénominateur (valeur interdite) pour indiquer que le dénominateur doit être différent de 0.

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