Croissance De L Intégrale
En clair: il ne suffit pas de prendre l'inf des distances entre f et g (qui est atteint, sur un compact, si les fonctions sont continues), il faut aussi s'assurer que cet inf est strictement positif! C'est justement le théorème de Heine qui nous sauve ici. Si est compact et si est continue, est atteint en un point et on a parce que. Ouf! Donc sur un intervalle pas compact, même borné, il va falloir travailler un peu plus. Par exemple, l'approximer par une suite croissante de compacts et demander une régularité suffisante de pour pouvoir utiliser un théorème et passer à la limite sous l'intégrale. Posté par Aalex00 re: croissance de l'integrale 11-05-21 à 15:31 Bonjour Ulmiere,
Merci de m'avoir corrigé. Dans mon premier post j'ai bien précisé "compact" en gras. En fait tu me contrediras si besoin mais initialement je ne pensais pas à Heine mais vraiment à la propriété de compacité (une autre manière de le voir donc, même si ça doit revenir au même):
• f Théories Propriétés de l'intégrale Propriétés de base Propriété Relation de Chasles Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$ de $I$, nous avons:\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\int_a^c{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_c^b{f(x)\;\mathrm{d}x}. \] Voir l'animation Voir l'idée de preuve Supposons d'abord que $f$ est positive sur $I$. Dans ce cas, la relation de Chasles résulte de $\mathrm{aire}(\Delta_f)=\mathrm{aire}(\Delta)+\mathrm{aire}(\Delta')$ Nous admettrons la validité de cette propriété dans le cadre général. Propriété Linéarité de l'intégrale Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$. Alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ de $I$, et tout réel $\alpha$ nous avons: $\displaystyle\int_a^b{\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\;\mathrm{d}x}=\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}$ $\displaystyle\int_a^b{\alpha f(x)\;\mathrm{d}x}=\alpha \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ Propriété Positivité de l'intégrale Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I$. Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un segment [ a, b] non dégénéré. Si f est minorée par m et majorée par M alors on a
m
≤ 1 /
( b − a) ∫ a b f ( t) d t ≤ M.
m ≤ f ( t) ≤ M
donc ∫ a b m d t
≤ ∫ a b M d t
c'est-à-dire m × ( b − a)
≤ M × ( b − a). Relations avec la dérivée
Théorème fondamental de l'analyse
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I non dégénéré. Soit a ∈ I. La fonction F: x ↦ ∫ a x f ( t) d t est la primitive de f qui s'annule en a. Soit x ∈ I et h ∈ R +∗ tel que x + h ∈ I. Le taux d'accroissement de F entre x et x + h se note
1 / h ∫ x x + h f ( t) d t,
c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle entre x et x + h (quel que soit le signe de h). Pour tout intervalle ouvert J contenant f ( x),
il existe un intervalle ouvert contenant x d'image dans J,
donc par inégalités de la moyenne, le taux d'accroissement appartient aussi à J. Finalement, le taux d'accroissement de F en x tend vers f ( x)
donc la fonction F est dérivable en x
avec F ′( x) = f ( x). Généralités sur les intégrales définies
En feuilletant un livre de maths, on repère vite les intégrales avec leur opérateur particulièrement décoratif (l' intégrateur) qui ressemble à un S élastique sur lequel on a trop tiré (c'est d'ailleurs bien un S, symbole de SOMME). Graphiquement, l'intégration sert à mesurer une aire comprise entre deux valeurs (éventuellement infinies), l'axe des abscisses et la courbe représentative d'une fonction continue (voire prolongée par continuité), mais aussi des volumes dans un espace à trois dimensions. Cette opération permet en outre de calculer la valeur moyenne prise par une fonction sur un intervalle. Note: le contenu de cette page est destiné à rafraîchir les souvenirs des étudiants et à servir de repère aux élèves de terminale générale qui ont déjà assimilé une introduction aux intégrales. Présentation
Soit deux réels \(a\) et \(b\) avec \(b > a\) et une fonction \(f\) continue positive entre ces deux valeurs. La somme de \(a\) à \(b\) de \(f(x) dx\) s'écrit (le « \(dx\) » est le symbole différentiel):
\[\int_a^b {f(x)dx} \]
\(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale. Évidemment, si elles sont égales, l'intégrale est nulle. Sinon, la valeur obtenue exprimée en unités d'aire (u. a. ) est égale à une primitive en \(b\) moins une primitive en \(a, \) soit \(F(b) - F(a). \) Une u. est l'aire du rectangle construit à partir des deux normes du plan (une largeur de 1 et une hauteur de 1). Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative. Note: on utilise une primitive sans constante inutile: on voit bien qu'elle serait soustraite à elle-même. Prenons un exemple simple, tiré de l'épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord):
\(f(x) = -1 + \frac{1}{2x - 1}, \) calculer \(\int_1^3 {f(x)dx} \)
La fonction est définie et continue sur \([1\, ;3]. \) Le quotient se présente sous une forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) à condition de le multiplier par \(\frac{1}{2}. \) C'est une dérivée logarithmique. On indique la primitive sans constante entre crochets puis on soustrait \(F(3) – F(1)\):
\(\left[ { - x + \frac{1}{2}\ln (2x - 1)} \right]_1^3\) \(=\) \(-2 + \frac{1}{2}\ln 5\)
Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié. 31/03/2005, 18h27
#1
Deepack33
Croissance d'une suite d'intégrales
------
bonjour, je souhaiterais montrer que la suite In est croissante
In= integral(x²e^(-x)) borne [0; n]
je part donc du principe que si In est croissante alors In+1 - In supérieur a 0
dois je développer In+1 et In et ensuite montrer l'inégalité?? merci
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31/03/2005, 18h35
#2
matthias
Re: Porblème croissance intérgale
L'intégrale de n à n+1 d'une fonction positive étant positive....
pas vraiment besoin de calcul d'intégrales. 31/03/2005, 18h47
#3
bien vu
merci bcp Discussions similaires Réponses: 2
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Dernier message: 20/10/2004, 21h16 Fuseau horaire GMT +1. Il est actuellement 14h57. L'intégrale est donc négative mais une aire se mesure, comme une distance, par une valeur POSITIVE. En l'occurrence, elle est donc égale à la valeur absolue du nombre trouvé. Il est possible qu'une fonction n'admette pas de primitive connue. Sous certaines conditions, une intégrale peut tout de même être approximée par d'autres moyens ( sommes de Davoux... ). Propriétés
Elles sont assez intuitives.
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