Terminale – Convexité : Les Inégalités : Simple | Jambon - Recettes De Grand-Mère

Nous allons voir plusieurs applications de l'inégalité de Jensen. Application 1: Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique [ modifier | modifier le wikicode] Propriété Soient, réels strictement positifs. On a:. Autrement dit la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Démonstration La fonction est convexe car. En appliquant le corollaire, on obtient: Application 2: Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique [ modifier | modifier le wikicode] Considérons la fonction définie par: On a alors:. Par conséquent, est convexe. et en élevant les deux membres à la puissance 1/p, on obtient:. Remarque Si l'on pose dans la formule précédente, on obtient. Le second membre représente la moyenne quadratique des. Par conséquent, compte tenu de l'application 1, on peut dire que la moyenne arithmétique est toujours comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne quadratique. Focus sur les inégalités de convexité - Major-Prépa. C'est-à-dire que:. Application 3: démonstration de l'inégalité de Hölder [ modifier | modifier le wikicode] L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chapitre 1).

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4). Mais on peut aussi en donner une preuve directe: Notons l'intégrale de. Alors,. Si est une extrémité de, la fonction est constante presque partout et le résultat est immédiat. Les-Mathematiques.net. Supposons donc que est intérieur à. Dans ce cas (propriété 10 du chapitre 1) il existe une minorante affine de qui coïncide avec au point: Composer cette minoration par, qui est intégrable et à valeurs dans, permet non seulement de montrer que l'intégrale de est bien définie dans (celle de sa partie négative étant finie), mais aussi d'établir l'inégalité désirée par simple intégration:. On déduit entre autres de ce théorème une forme intégrale de l'inégalité de Hölder qui, de même, généralise l'inégalité de Hölder discrète ci-dessus: cf. Exercice 1-5.

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Ainsi N a pour coordonnées ( t a + ( 1 − t) b; t f ( a) + ( 1 − t) f ( b)). Puisque l'ordonnée de P est inférieure à celle de N, on peut écrire: f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). d) Si f est concave sur I, la courbe représentant f est située au-dessus de ses cordes. L'ordonnée de P est donc supérieure à celle de N, soit: f ( t a + ( 1 − t) b) ≥ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). Étudier la convexité d'une fonction composée Soient a et b deux éléments de I et t ∈ 0; 1. Une fonction croissante conserve l'ordre; l'ordre des images est le même que celui des éléments de départ. Puisque f est convexe sur I, on a: f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). Inégalité de convexity . Comme g est croissante sur ℝ, on en déduit que: g f t a + ( 1 − t) b ≤ g t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). De plus, g étant convexe, on a aussi d'après la partie A: g t f ( a) + ( 1 − t) f ( b) ≤ t g f ( a) + ( 1 − t) g f ( b). Cela entraîne g f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t g f ( a) + ( 1 − t) g f ( b), soit h t a + ( 1 − t) b ≤ t h ( a) + ( 1 − t) h ( b).

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Soient a 1, a 2, b 1, b 2 ∈ ℝ +, déduire de ce qui précède: a 1 ⁢ b 1 a 1 p + a 2 p p ⁢ b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p ⁢ a 1 p a 1 p + a 2 p + 1 q ⁢ b 1 q b 1 q + b 2 q ⁢. (c) Conclure que a 1 ⁢ b 1 + a 2 ⁢ b 2 ≤ a 1 p + a 2 p p ⁢ b 1 q + b 2 q q ⁢. (d) Plus généralement, établir que pour tout n ∈ ℕ et tous a 1, …, a n, b 1, …, b n, ∑ i = 1 n a i ⁢ b i ≤ ∑ i = 1 n a i p p ⁢ ∑ i = 1 n b i q q ⁢. Par la concavité de x ↦ ln ⁡ ( x), on a pour tout a, b > 0 et tout λ ∈ [ 0; 1] l'inégalité: λ ⁢ ln ⁡ ( a) + ( 1 - λ) ⁢ ln ⁡ ( b) ≤ ln ⁡ ( λ ⁢ a + ( 1 - λ) ⁢ b) ⁢. Appliquée à λ = 1 / p, elle donne ln ⁡ ( a p ⁢ b q) ≤ ln ⁡ ( a p + b q) puis l'inégalité voulue. Inégalité de convexité ln. Enfin celle-ci reste vraie si a = 0 ou b = 0. Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à a = a 1 p a 1 p + a 2 p ⁢ et ⁢ b = b 1 q b 1 q + b 2 q ⁢. De même, on a aussi a 2 ⁢ b 2 a 1 p + a 2 p p ⁢ b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p ⁢ a 2 p a 1 p + a 2 p + 1 q ⁢ b 2 q b 1 q + b 2 q donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.

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Partie convexe d'un espace vectoriel réel $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb R$. Soit $u_1, \dots, u_n$ des vecteurs de $E$, et $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ des réels tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i\neq 0$. On appelle barycentre des vecteurs $u_1, \dots, u_n$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ le vecteur $v$ défini par $$v=\frac{1}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i. $$ Dans le plan ou l'espace muni d'un repère de centre $O$, on identifie le point $M$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$. Fonctions convexes/Définition et premières propriétés — Wikiversité. On définit alors le barycentre $G$ des points $A_1, \dots, A_n$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ par le fait que le vecteur $\overrightarrow{OG}$ est le barycentre des vecteurs $\overrightarrow{OA_1}, \dots, \overrightarrow{OA_n}$ affectés des poids $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Ceci ne dépend pas du choix du repère initial. Proposition (associativité du barycentre): si $v$ est le barycentre de $(u_1, \lambda_1), \dots, (u_n, \lambda_n)$, et si $$\mu_1=\sum_{i=1}^p \lambda_i\neq 0\textrm{ et}\mu_2=\sum_{i=p+1}^n \lambda_i\neq 0, $$ alors $v$ est aussi le barycentre de $(v_1, \mu_1)$ et de $(v_2, \mu_2)$, où $v_1$ est le barycentre de $(u_1, \lambda_1), \dots, (u_p, \lambda_p)$ et $v_2$ est le barycentre de $(u_{p+1}, \lambda_{p+1}), \dots, (u_n, \lambda_n)$.

Convexité, concavité Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On dit que \(f\) est convexe sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve au-dessus de la courbe On dit que \(f\) est concave sur \(I\) si tout segment reliant deux points de la courbe se trouve en-dessous de la courbe Exemple: Les fonction \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto |x|\) et \(x\mapsto e^x\) sont convexes sur \(\mathbb{R}\). La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est concave sur \(\mathbb{R}_+\). La fonction \(x\mapsto x^3\) est concave sur \(\mathbb{R}_-\) et convexe sur \(\mathbb{R}_+\). Exemple: Attention: on parle bien de convexité sur un intervalle. Inégalité de connexite.fr. Par ailleurs, ce n'est pas parce qu'une fonction \(f\) est convexe sur deux intervalles \([a, b]\) et \([b, c]\) que \(f\) est aussi convexe sur \([a, c]\). La fonction représentée ci-dessus est convexe sur \([-3;0]\) et sur \([0;3]\) mais n'est pas convexe sur \([-3, 3]\).

Recette d'œufs au Jambon, facile a faire avec des ingrédients très simple, recette réserver au gourmands, Recette simple qui devrait plaire à tout le monde. C'est très rapide à faire et franchement, tout le monde se jette dessus! Œufs au jambon pour une soirée, rapide au four quelques minutes de préparation et c'est prêt, j'ai adoré ce petit gout légèrement fumé. Simple et appréciés, les œufs au jambon se préparent en un tournemain. Recette jambon grand mère est. Une recette facile à réaliser, qui plaira aux petits comme aux grands. A servir lors d'un brunch ou pour un repas léger. Voyons ensemble comment préparer cette savoureuse recette. Recette Œufs au Jambon de grand-mère: Réalisation: Difficulté: Facile Temps de préparation: 20 minutes Temps de cuisson: 40 minutes Temps Total: 1 h Pour réaliser cette recette il vous faudra les ingrédients suivants: Ingrédients pour 4 personnes: 8 œufs 4 tranches de jambon blanc 1/2 l de lait 40 g de farine 40 g de beurre sel, poivre muscade 70 g de Gruyère Parmesan Préparation: Comment préparer les Œufs au Jambon Faites cuire les œufs durs.

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Recette d'œuf au jambon, facile à réaliser avec des ingrédients très simples, recette pour les gourmands, recette simple qui devrait plaire à tout le monde. C'est très rapide à faire et honnêtement, tout le monde saute dessus! Oeufs au jambon pour une soirée, enfournez rapidement en quelques minutes de préparation et c'est prêt, j'adore cette saveur légèrement fumée. Donc, pour la recette, il vous faut: Ingrédients: — 4 tranches de jambon blanc 8 œufs 1/2 l de lait 40 g de beurre Muscade Parmesan 40 g de farine Sel, poivre 70 g de Gruyère Préparation: Comment préparer Les Œufs au Jambon de grand-mère? Faire bouillir les œufs. Préparez la sauce béchamel avec du beurre, de la farine et du lait. Saler, poivrer et ajouter un peu de muscade en poudre. Couper le jambon en deux dans le sens de la longueur. Jambon aux morilles de ma grand-mère : recette de Jambon aux morilles de ma grand-mère. Envelopper un œuf dur dans 1/2 tranche de jambon et faire de même avec les 3 œufs restants. Placer les œufs dans un plat isolé et napper tous les œufs de sauce béchamel. Pour finir Saupoudrer de fromage râpé et de parmesan.

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Étape 2 Dans un saladier, battre à la main les œufs et la crème fraîche. Ajouter la farine en battant la maïzena, la levure et le sel. Étape 4 Ajouter les 3/4 du paquet de gruyère rappé. Étape 5 Couper les tranches de jambon en petits carrés (vous pouvez également acheter des dés de jambon)puis les ajouter à la préparation. Étape 6 Mettre dans un moule à cake préalablement beurré puis parsemer le dessus avec le reste de gruyère. Faire cuire 20-25 minutes. Surveiller régulièrement la cuisson, le cake est prêt lorsque le dessus est doré. Recettes de jambon par Cuisine maison, d'autrefois, comme grand-mère : Jambon à la broche, Jambon de sanglier, Salade cauchoise, pommes de terre, cresson, jambon.... Bon appétit! Note de l'auteur: « Ce cake est très moelleux et savoureux. Parfait en apéritif coupé en petits morceaux ou en entrée accompagnée d'un peu de salade. Se déguste aussi bien tiède que froid. » C'est terminé! Qu'en avez-vous pensé? Cake jambon-fromage de ma grand-mère

Accueil Les catégories Rechercher par ingrédients Accueil Étiquette: jambon Gratin d'endives au jambon Temps de cuisson: 45 minutes Les plats Française Gratin d'endives au jambon, recette de grand-mère facile et rapide. Endives au jambon délicieuses. Recette jambon grand mère en fille. Épluchez les endives et creusez un cône au centre de chaque trognon, ce qui en réduit... Grand-mère 04/05/2020 J'aime 10 1 Lire la suite Commentaire 1 238 Vues Conditions d'utilisation Politique de confidentialité À propos de nous | TOUS DROITS RÉSERVÉS | © 2020