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Wednesday, 3 July 2024

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Accueil » Cours et exercices » Première Générale » Généralités sur les suites Notion de suite Généralités Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ $$u:\begin{array}{rcl} \mathbb{N}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ n& \longmapsto &u(n) \end{array}$$ On note en général $u_n$ l'image de $n$ par la suite $u$, également appelé terme de rang $n$. La suite $u$ est également notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou $(u_n)$ Exemple: On peut définir la suite $(u_n)$ des nombres impairs. On a alors $u_0=1$, $u_1=3$, $u_2=5$… Comme pour les fonctions, on peut définir une suite à l'aide d'une formule explicite. Généralités sur les suites - Mathoutils. Exemple: On considère la suite $(u_n)$ telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=3n+4$. On a alors: $u_0=3\times 0 + 4 = 4$ $u_1=3\times 1 + 4 = 7$ $u_2=3\times 2 + 4 = 10$… Génération par récurrence On dit qu'une suite $(u_n)$ est définie par récurrence (d'ordre 1) lorsqu'il existe une fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

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math:2:generalite_suite Définition: Vocabulaire général sur les suites Une suite $u$ est une application de $\N$ (ou bien d'un intervalle de la forme $[\! [ p, +\infty[\! [$ avec $p\in\N$) dans $\R$. On note alors $u=(u_{n})_{n\in\N}$ (ou bien $u=(u_{n})_{n\geqslant p}$). Une suite $u$ est dite minorée (resp. majorée) par un réel $m$ si et seulement si $u_{n}\geqslant m$ (resp. $u_{n}\leqslant m$) pour tout entier naturel $n$. La suite $u$ est dite bornée si et seulement si elle est minorée et majorée. Généralité sur les suites arithmetiques pdf. Une suite $u$ est dite croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante) si et seulement si $u_{n+1}\geqslant u_{n}$ (resp. $u_{n+1}>u_{n}$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$, $u_{n+1}

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Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>0$ Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{2n}{n+1}$ Or, pour tout $n>1$, on a $n+n>n+1$, c'est-à-dire $2n>n+1$, soit $\dfrac{2n}{n+1}>1$. Ainsi, pour tout $n>1$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$. La suite $(u_n)$ est donc croissante à partir du rang 1. Lien avec les fonctions Soit $n_0\in\mathbb{N}$ et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et monotone sur $[n_0;+\infty[$. La suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=f(n)$, est monotone à partir du rang $n_0$, de même monotonie que $f$. Démonstration: Supposons que la fonction $f$ est croissante sur $[n_0;+\infty [$. Généralités sur les suites numériques. Soit $n\geqslant n_0$. Puisque $n\leqslant n+1$, alors, par croissance de $f$ sur $[n_0;+\infty[$, $f(n)\leqslant f(n+1)$, c'est-à-dire $u_n\leqslant u_{n+1}$. La suite $(u_n)$ est donc croissante à partir du rang $n_0$. La démonstration est analogue si $f$ est décroissante.

Généralités Sur Les Suites Numériques

On représente graphiquement une suite par un nuage de points en plaçant en abscisses les rangs n n (entiers) et en ordonnées les valeurs des termes u n u_{n}. Une suite est croissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N n \in \mathbb{N}: u n + 1 ⩾ u n u_{n+1} \geqslant u_{n} Une suite est décroissante si et seulement si pour tout entier n ∈ N n \in \mathbb{N}: u n + 1 ⩽ u n u_{n+1} \leqslant u_{n}

La suite $(u_{n})_{n\geqslant p}$ est géométrique de raison $q$ si et seulement si $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ pour tout entier $n\geqslant p$. Pour une suite arithmético-géométrique $(u_{n})$ vérifiant $u_{n+1}=au_{n}+b$, on procède par changement de suite en posant $v_{n}=u_{n}-\ell$ où le réel $\ell$ vérifie l'égalité $\ell=a\ell+b$ (c'est la limite de la suite $(u_{n})$ si elle en admet une) et on prouve que la suite $(v_{n})$ est géométrique.