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1 T1 = 2 T2 = 5 t = np. arange ( 0, T1 * T2, dt) signal = 2 * np. cos ( 2 * np. pi / T1 * t) + np. sin ( 2 * np. pi / T2 * t) # affichage du signal plt. plot ( t, signal) # calcul de la transformee de Fourier et des frequences fourier = np. fft ( signal) n = signal. size freq = np. fftfreq ( n, d = dt) # affichage de la transformee de Fourier plt. plot ( freq, fourier. real, label = "real") plt. Tableau transformée de fourier 2d. imag, label = "imag") plt. legend () Fonction fftshift ¶ >>> n = 8 >>> dt = 0. 1 >>> freq = np. fftfreq ( n, d = dt) >>> freq array([ 0., 1. 25, 2. 5, 3. 75, -5., -3. 75, -2. 5, -1. 25]) >>> f = np. fftshift ( freq) >>> f array([-5., -3. 25, 0., 1. 75]) >>> inv_f = np. ifftshift ( f) >>> inv_f Lorsqu'on désire calculer la transformée de Fourier d'une fonction \(x(t)\) à l'aide d'un ordinateur, ce dernier ne travaille que sur des valeurs discrètes, on est amené à: discrétiser la fonction temporelle, tronquer la fonction temporelle, discrétiser la fonction fréquentielle.
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Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps), mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel: elle a calculé la transformée de Fourier du signal original. Définition: Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par: Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer. Transformation de Fourier, FFT et DFT — Cours Python. On rencontre par exemple souvent la définition: Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après. Propriétés Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant: $$ \begin{array}{c|c} \textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\ \hline f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\ f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\ (-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\ f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\ f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\ f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\ f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t).
linspace ( tmin, tmax, 2 * nc) x = np. exp ( - alpha * t ** 2) plt. subplot ( 411) plt. plot ( t, x) # on effectue un ifftshift pour positionner le temps zero comme premier element plt. subplot ( 412) a = np. ifftshift ( x) # on effectue un fftshift pour positionner la frequence zero au centre X = dt * np. fftshift ( A) # calcul des frequences avec fftfreq n = t. size f = np. fftshift ( freq) # comparaison avec la solution exacte plt. subplot ( 413) plt. plot ( f, np. Tracer la transformée de Fourier rapide(FFT) en Python | Delft Stack. real ( X), label = "fft") plt. sqrt ( np. pi / alpha) * np. exp ( - ( np. pi * f) ** 2 / alpha), label = "exact") plt. subplot ( 414) plt. imag ( X)) Pour vérifier notre calcul, nous avons utilisé une transformée de Fourier connue. En effet, pour la définition utilisée, la transformée de Fourier d'une gaussienne \(e^{-\alpha t^2}\) est donnée par: \(\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}\) Exemple avec visualisation en couleur de la transformée de Fourier ¶ # visualisation de X - Attention au changement de variable x = np.
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