Divergence D'un Vecteur En Coordonnées Cylindriques - Epiphys – Béton Allégé Polystyrène
[Résolu] Gradient en coordonnées cylindriques • Forum • Zeste de Savoir Aller au menu Aller au contenu Aller à la recherche Le problème exposé dans ce sujet a été résolu. Bonjour, J'ai toujours eu un peu de mal avec les coordonnées polaires (ou cylindriques). Un exemple: le calcul du gradient en coordonnées cylindriques. Soit $f:\Bbb R^3\to\Bbb R $ différentiable au point M de coordonnées polaires $(r, \theta, z)$, et on note $g = f(rcos\theta, rsin\theta, z)$, alors via la "chain rule" on obtient: $$\nabla f(rcos\theta, rsin\theta, z) = \frac {\partial g}{\partial r}(r, \theta, z)e_r + \frac 1r \frac {\partial g}{\partial \theta}(r, \theta, z)e_\theta + \frac {\partial g}{\partial z}(r, \theta, z)e_z$$ Ce calcul me semble tout à fait cohérent, du moins j'en comprends la preuve pas à pas. Comment expliquer alors, lorsque je regarde la page wikipédia du gradient cette autre formule: $$\nabla f(r, \theta, z) = \frac {\partial f}{\partial r}(r, \theta, z)e_r + \frac 1r \frac {\partial f}{\partial \theta}(r, \theta, z)e_\theta + \frac {\partial f}{\partial z}(r, \theta, z)e_z$$ Clairement les deux formules sont distinctes.
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Exemple Vrifier la formule dans le cas particulier U(x, y)=x. y Rponse dU = U(x+dx, y+dy)-U(x, y)= (x+dx)(y+dy)-xy = xdy + ydx + dxdy avec xdy + ydx + dxdy qui est gal xdy + ydx car, dx et dy tant infiniment petits, dxdy est ngligeable devant xdy et ydx. Gradient en coordonnes cylindriques Systme de coordonnes cylindriques Soient, en coordonnées cylindriques, un champ scalaire U(r, θ, z) et un vecteur E = grad U. E = Er u + E θ v + Ez k dr = dr u + rdθ v + dz k dU = grad U. dr = + E θ. rdθ + d'où Gradient en coordonnes sphriques Systme de coordonnes sphriques Soient, en coordonnées sphériques, un champ scalaire U(r, θ, φ) et un vecteur E = grad U. E = Er u + Eθ v + Eφ w dr = dr u + rdθ v + rsindφ w dU = grad = + Eθ. rdθ + Eφ. rsinθdφ © (2007)
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1. Définition des coordonnées curvilignes On peut considérer qu'un point de l'espace est obtenu comme l'intersection de trois plans d'équations: \[x=cte\quad;\quad~y=cte\quad;\quad~z=cte\] On peut dire aussi que par ce point passent des lignes de coordonnées qui sont les intersections deux à deux des plans précédents. Effectuons alors le changement de variables suivant (supposé réversible): \[\left\{ \begin{aligned} x=x(q_1, q_2, q_3)\\ y=y(q_1, q_2, q_3)\\ z=z(q_1, q_2, q_3) \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} q_1=q_1(x, y, z)\\ q_2=q_2(x, y, z)\\ q_3=q_3(x, y, z) \end{aligned} \right. \] Le point \(M\) peut être alors représenté par \(M(q_1, q_2, q_3)\), c'est-à-dire qu'il se trouve à l'intersection des trois surfaces d'équations: \[q_1=cte\quad;\quad~q_2=cte\quad;\quad~q_3=cte\] Ces surfaces sont les surfaces coordonnées. Elles se coupent deux à deux suivant 3 lignes issues de M. En coordonnées cylindriques: \[\left\{ \begin{aligned} &x=r~\cos(\theta)\\ &y=r~\sin(\theta)\\ &z=z \end{aligned} \right.
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Élément de surface en coordonnées curvilignes (ds)² L'élément de surface en coordonnées curvilignes est le carré de la distance de deux points.
L'idée du calcul que je présente est d'exprimer les vecteurs du repère cylindrique \(e_r, e_{\theta}, e_z\) en fonction des vecteurs de \(e_x, e_y, e_z\) de la manière suivante: \[\begin{cases}e_x=e_r\cos\theta-e_{\theta}\sin\theta\\ e_y=e_r\sin\theta+e_{theta}\cos\theta\\ e_z=e_z\end{cases}\] J'injecte alors ces résultats dans l'expression du nabla dans le repère cartésien et on trouve la deuxième expression de nabla que je donne. Ceci me semble tout à fait correct, et mon repère cylindrique me semble avoir du sens. Reste alors à exprimer nabla sous une forme "classique" \(\nabla =ae_r+be_{\theta}+ce_z\). On trouve alors en factorisant (ce qui me semble correct également): \[\nabla=e_r\left(\cos\theta\frac{\partial}{\partial x}+\sin\theta\frac{\partial}{\partial y}\right)+e_{\theta}\left(-\sin\theta\frac{\partial}{\partial x}+\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}\right)+e_z\frac{\partial}{\partial z}\] Reste à exprimer les dérivés partielles par rapport à \(x\), \(y\) et \(z\) en fonction de \(r, \theta, z\).
Si le pompage est plus aisé compte tenu de la faible masse volumique (distance et hauteur), il peut nécessiter le déploiement de technologies i. e. pompe à rotor vs. pompe à piston. Savez-vous que vous pouvez vous faire livrer du béton allégé, même pour une petite quantité? Utilisation du béton léger Le béton léger est utilisé dès lors que l'on souhaite réaliser un gain de poids, ou que l'on cherche à améliorer l'isolation thermique ou acoustique d'un composant. Béton allégé polystyrène expansé. Il est notamment privilégié pour la réalisation des combles avec dalle sèche car il permet de réduire le poids que doit supporter le plancher et d'assurer une bonne isolation. Comble aménagé Après, il peut également être employé pour bien d'autres projets, comme la réalisation d'une dalle isolante sur plancher, ou d'une cloison, compte tenu de ses propriétés en matière d'isolation. Prix d'un béton léger Le prix d'un béton léger talonne facilement les 200-300€/m3 ( x2 par rapport à un béton classique). Le prix d'un béton léger varie suivant le dosage du produit, la typologie de granulats utilisé ou encore l'incorporation d'éventuels adjuvants.
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De tous ceux qui n'ont rien à dire, les plus agréables sont ceux qui se taisent (Coluche) Messages: Env. 30000 De: Sur Le Forum (77) Ancienneté: + de 17 ans Le 05/05/2017 à 20h57 Le 05/05/2017 à 21h09 Env. 70000 message 3 X Cote D'or = 63! Bonsoir pourquoi 8cm? (c'est beaucoup) et sur ce ragréage qu'avez-vous prévu? Bétons allégés polystyrène | BML. je fais les questions et les réponses en même temps pourquoi pas des panneaux de polystytruc spécial chape pour combler le + possible, et finir avec une chape "normale". en réduisant le volume de béton, vous économiserez quelques trajets. 20m X par 2 seaux de 10L... Messages: Env. 70000 De: 3 X Cote D'or = 63! Ancienneté: + de 16 ans Le 05/05/2017 à 21h13 Pour info je viens de trouver cela sur le net: Exemples de dosages de bétons légers (avec des billes de polystyrène) Béton léger 300 kg/m3 Béton léger 800 kg/m3 Béton léger 1400 kg/m3 Ciment 150 kg 400 kg 400 kg Sable 60 kg 330 kg 950 kg Billes PSE 920 L 650 L 350 L Adjuvants 1 à 3% 1 à 4% 1 à 4% Eau 75 L 170 L 170 L sur: Le 05/05/2017 à 21h29 8 cm juste pour mettre de niveau cette cuisine (nouvelle construction: extension) avec la pièce principale (j'ouvre actuellement un mur pour accéder à cette cuisine) Merci pour vos infos je note je note!
Ces vides peuvent se situer: A l'intérieur des granulats, dans le cas d'utilisation de granulats légers: c'est la technique la plus courante pour faire du béton léger. On remplace tout ou une partie des granulats courants (granulats de type gravillons et sable) par des granulats légers. Béton allégé polystyrene. De nombreux granulats spéciaux sont utilisables pour réaliser des bétons légers. Le choix du type de granulat dépend de la densité souhaitée (voir le tableau ci dessous). Entre les granulats, dans le cas de bétons caverneux: en retirant une grande partie du sable, on obtient alors un béton léger dit caverneux, contenant beaucoup de vides. Dans la pâte de ciment, dans le cas du béton mousse ou du béton cellulaire: grâce à des adjuvants spécifiques, on introduit une grande quantité d'air dans la pâte de ciment. Nature du granulat léger Masse volumique apparente du granulat léger (kg/m3) Masse volumique possible du béton léger (kg/m3) Argile expansée 350 à 700 0, 8 à 1, 8 Schiste expansé 550 à 950 0, 8 à 1, 6 Vermiculite 50 à 125 0, 3 à 0, 5 Perlite 30 à 180 0, 3 à 0, 6 Polystyrène expansé 10 à 15 0, 1 à 1, 2 Principaux granulats légers.