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On a en colonnes, les coordonnées des images des vecteurs de la base de écrits dans la base de. 4 Matrice de Passage Définition: On appelle matrice de passage ou P la matrice constituée en colonnes des coordonnées des vecteurs de la nouvelle base écrits dans l'ancienne. On l'appelle aussi matrice de changement de base. C'est donc une matrice inversible. Toute matrice carrée inversible peut toujours s'interpréter comme matrice d'un endomorphisme dans une certaine base, ou comme matrice de changement de base. Passer d'une interprétation à une autre permet parfois de faire avancer le problème. Fiche résumé matrices descriptors elbcm. 5 Changements de base Théorème: Si on appelle et les vecteurs colonnes, coordonnées d'un vecteur dans l'ancienne et la nouvelle base, et P la matrice de passage, on a ou bien. Théorème: Si on appelle et les matrices d'un endomorphisme dans l'ancienne et la nouvelle base, et P la matrice de passage, on a ou bien. Définition: M et M' sont semblables inversible telle que ce sont les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases différentes.

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On la note $P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}$. En interprétant $P_{\mathcal B_1\to\mathcal B_2}$ comme $\textrm{Mat}_{(\mathcal B_2, \mathcal B_1)}(\textrm{id}_E)$, on démontre les faits importants suivants: La matrice $P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}$ est inversible, d'inverse $P_{\mathcal B_2\to \mathcal B_1}$. Si $x\in E$ a pour coordonnées $X_1$ dans la base $\mathcal B_1$ et pour coordonnées $X_2$ dans la base $\mathcal B_2$, alors $$X_1=P_{\mathcal B_1\to \mathcal B_2}X_2. Résumé de cours et méthodes sur les matrices ECG1. $$ Formule de changement de base pour les applications linéaires: Soit $u\in\mathcal L(E, F)$, $\mathcal B, \ \mathcal B'$ deux bases de $E$, $\mathcal C, \ \mathcal C'$ deux bases de $F$. Alors, si l'on note $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal C)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B', \mathcal C')}(u)$, $P=P_{\mathcal B\to \mathcal B'}$, $Q=P_{\mathcal C\to \mathcal C'}$, on a $$B=Q^{-1}AP. $$ En particulier, si $u$ est un endomorphisme, si $A=\textrm{Mat}_{(\mathcal B, \mathcal B)}(u)$, $B=\textrm{Mat}_{(\mathcal B', \mathcal B')}(u)$, $P=P_{\mathcal B\to \mathcal B'}$, alors $$B=P^{-1}AP.

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Découvrez avec ce cours en ligne en Maths Sup, un cours complet sur le chapitre des matrices. Un chapitre important dans le programme de maths en Maths Sup, mais un chapitre également très important pour obtenir de bons résultats aux concours post-prépa pour intégrer les écoles d'ingénieurs les plus réputées de France. A. Matrices de type à coefficients dans. On suppose que et sont deux éléments de. 1. Définitions des matrices en Maths Sup Soient et, avec et. est définie par où si et,. Si, est définie par Lorsque, l'ensemble est noté. 2. Propriétés de matrices en Maths Sup P1: est un – espace vectoriel. P2: Si, on définit par i. e. tous les éléments de sont nuls sauf celui situé en ligne et colonne qui est égal à 1. On note. La famille est une base de, appelée base canonique de.. P3: Décomposition de:. B. Produit matriciel en Maths Sup 1. Fiche résumé matrices du. Définition du produit matriciel en Maths Sup Si et, où et, 2. Produit d'une matrice de type par une matrice colonne,, alors, si,. 3. Propriétés d'un prpduit matriciel Si les produits et sommes sont définis, et si, C.

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Il est stable par produit. P2: L'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires supérieures à coefficients dans est un s. Il est stable par produit. P3: Il en est de même de l'ensemble des matrices carrées d'ordre triangulaires inférieures à coefficients dans. 6. Matrices inversibles en Maths Sup P: On note l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans inversibles. est un groupe appelé groupe linéaire d'ordre à coefficients dans. D. Matrices et applications linéaires 1. Matrice d'une famille de vecteurs Soit un -espace vectoriel de base. Soit une famille de. La matrice de la famille dans la base est la matrice de type telle que pour tout, la -ème colonne de est formée des coordonnées de dans la base. 2. Matrice de D1: La matrice de dans les bases de et de est une matrice notée ou de type Pour retenir: Les coordonnées de dans la base forment la -ème colonne de. P1: L'application, est un isomorphisme d'espaces vectoriels.. 3. Cours Matrice d'une application linéaire - prépa scientifique. Matrice d'un endomorphisme D2: La matrice de dans la base de est une matrice carrée d'ordre où que l'on note ou.

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$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, $m, n, p$ sont des entiers strictement positifs. Matrices et applications linéaires $E$, $F$ et $G$ désignent des espaces vectoriels de dimensions respectives $p, n, m$, dont $\mathcal B=(e_i)_{1\leq i\leq p}$, $\mathcal C=(f_i)_{1\leq i\leq n}$ et $\mathcal D=(g_i)_{1\leq i\leq m}$ sont des bases respectives. Soit $x\in E$. La matrice du vecteur $x$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice colonne $X\in\mathcal M_{p, 1}(\mathbb R)$ constituée par les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$: si $x=a_1e_1+\cdots+a_pe_p$, alors $$X=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots \\ a_p\end{pmatrix}. $$ Soit $(x_1, \dots, x_r)\in E^r$ une famille de vecteurs de $E$. Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I. - Algèbre - Matrices. La matrice de la famille $(x_1, \dots, x_r)$ dans la base $\mathcal B$ est la matrice de $\mathcal M_{p, r}(\mathbb K)$ dont la $j$-ème colonne est constituée par les coordonnée de $x_j$ dans la base $\mathcal B$. Soit $u\in \mathcal L(E, F)$. La matrice de $u$ dans les bases $\mathcal B$ et $\mathcal C$ est la matrice de $\mathcal M_{n, p}(\mathbb K)$ dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées des vecteurs $(u(e_1), \dots, u(e_p))$ dans la base $\mathcal C=(f_1, \dots, f_n)$.

Cas des matrices carrées d'ordre en Maths Sup 1. Définitions des matrices carrées d'ordre Si, a) les éléments forment la diagonale de. On dit que ce sont les éléments diagonaux de. b) est dite diagonale lorsque. c) est dite triangulaire supérieure lorsque tels que. d) est dite triangulaire inférieure lorsque tels que. e) est dite triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou inférieure. 2. Propriétés du produit matriciel en Maths Sup Le produit matriciel dans s'écrit: si et, est défini et. où,. D: On définit la matrice unité d'ordre par. Rappel: P1: est un anneau. P2: Si,. Si,. 3. Puissance -ième d'une matrice carrée D: Si, on définit par récurrence: et si. (si, on démontre que est le produit de matrices. Fiche résumé matrices net. ) Formule du binôme de Newton. Si vérifie, pour tout,. 4. Base canonique de D: Si, on définit P1: On note. La famille est une base, dite base canonique, de.. P2: Décomposition de:. P3: Produit de deux éléments de la base canonique. 5. Sous-espaces vectoriels particuliers en Maths Sup P1: L' ensemble des matrices carrées d'ordre diagonales à coefficients dans est un s. v de de dimension.

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