SÉRies NumÉRiques - A Retenir / La Vie Devant Soie Boutique Des
Dans le cas contraire, pour des modules supérieurs à R, elle diverge. On appelle alors ce réel R le rayon de convergence de la série entière. Le disque de centre 0 et de rayon R est appelé disque ouvert de conver¬ gence de la série entière. CALCUL DU RAYON DE CONVERGENCE Si le rayon de convergence fournit un critère théorique de convergence ou de divergence d'une série entière, il n'est pas toujours aisé de le calculer en pratique. Il existe cependant de nombreuses méthodes afin de le déterminer. On peut, dans certains cas, utiliser directement la définition du rayon de convergence afin de l'expliciter. Séries entires usuelles. Si cela n'est pas possible, on peut utiliser la règle de Cauchy (étude de la limite des racines n-ièmes des modules des coefficients an) ou bien la règle de d'Alembert (étude de la limite des modules des quotients de deux coefficients successifs). Il est également possible d'utiliser certains théorèmes, comme le théorème de comparaison de séries entières, celui du rayon de conver¬ gence d'une somme ou d'un produit (énoncé par Cauchy) ou encore de sa dérivée.
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Les Séries Entières – Les Sciences
Chapitre 11: Séries Entières - 3: Somme d'une Série Entière de variable réelle Sous-sections 3. 1 Intervalle de convergence, continuité 3. 2 Dérivation et intégration terme à terme 3. 3 Développements usuels On notera cette série entière:. 3. 1 Intervalle de convergence, continuité On a un théorème de continuité très simple qu'on va admettre. Théorème: une série entière de rayon de convergence. Série entière — Wikiversité. On définit la fonction par:. Si,. Si est fini, De plus, dans tous les cas, est continue sur. 2 Dérivation et intégration terme à terme Les théorèmes ont encore des énoncés très simples et on va encore les admettre. Alors est de classe sur au moins et, est une série entière qui a, de plus, le même rayon de convergence. Théorème: une série entière de rayon de convergence, convergente sur. Alors, est une série entière qui a encore le même rayon de convergence et qui converge partout où converge. Remarque: En un mot, on peut dériver et intégrer terme à terme une série entière de variable réelle sur l' ouvert de convergence, ce qui ne change pas le rayon de convergence.
En particulier, si $a_n\sim b_n$, alors $R_a=R_b$. Rayon de convergence de la série dérivée: Le rayon de convergence de $\sum_n na_nz^n$ est égal au rayon de convergence de $\sum_n a_nz^n$. Somme de deux séries entières: Le rayon de convergence de la série somme $\sum_n (a_n+b_n)z^n$ vérifie $R\geq \min(R_a, R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a, R_b)$, alors $$\sum_{n\geq 0} (a_n+b_n)z^n=\sum_{n\geq 0} a_n z^n+\sum_{n\geq 0}b_nz^n. $$ On appelle série entière produit de $\sum_n a_nz^n$ et de $\sum_n b_nz^n$ la série entière $\sum_n c_nz^n$ avec $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Proposition: Le rayon de convergence $R$ de la série produit $\sum_n c_nz^n$ de $\sum_n a_nz^n$ et $\sum_n b_nz^n$ vérifie $R\geq \min(R_a, R_b)$. De plus, pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<\min(R_a, R_b)$, alors $$\sum_{n\geq 0} c_nz^n=\left(\sum_{n\geq 0} a_n z^n\right)\times\left(\sum_{n\geq 0}b_nz^n\right). Séries numériques - A retenir. $$ Régularité, cas de la variable réelle On s'intéresse désormais au cas où la variable ne peut plus prendre que des valeurs réelles, et nous noterons désormais les séries entières $\sum_n a_n x^n$.
Série Entière — Wikiversité
Dveloppements en srie entire usuels Développements en série entière usuels sin (x) = R = + ¥ cos (x) = R = + ¥ sh (x) = R = + ¥ ch (x) = R = + ¥ 1/(1-x) = R = 1 1/(1+x) = R = 1 ln (1+x) = R = 1 (valable en x = 1) ln (1-x) = - R = 1 exp (x) = R = + ¥ (1+x) a = 1 + R = 1 si a Ï n, R = + ¥ sinon Arctan (x) = R = 1 Arcsin (x) = x + R = 1 Pour les fractions, le rayon de convergence est égal au plus petit des pôles de la fraction donc une fraction est développable en série entière si et seulement si 0 n'est pas un pôle de la fraction. Première version: 01/03/98 Auteur: Frédéric Bastok e-mail:) Source: Relecture: Aucune pour l'instant
Série entière - rayon de convergence
On appelle série entière toute série de fonctions de la forme $\sum_{n}a_nz^n$ où $(a_n)$ est une suite de nombres complexes et où $z\in\mathbb C$. Lemme d'Abel: Si la suite $(a_nz_0^n)$ est bornée, alors pour tout $z\in\mathbb C$ avec $|z|<|z_0|$, la série $\sum_n a_n z^n$
est absolument convergente. On appelle rayon de convergence de la série entière
$$R=\sup\{\rho\geq 0;\ (a_n\rho^n)\textrm{ est bornée}\}\in \mathbb R_+\cup\{+\infty\}. $$
Proposition: Soit $\sum_n a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors, pour tout $z\in \mathbb C$,
si $|z|
SÉRies NumÉRiques - A Retenir
On s'intéresse à la régularité de la série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence $]-R, R[$. Théorème (intégration d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $F$ une primitive de $f$. Alors, pour tout $x\in]-R, R[$, $$F(x)=F(0)+\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}. $$ Théorème (dérivation terme à terme): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-R, R[$. De plus, pour tout $x\in]-R, R[$ et tout $k\geq 0$, on a $$f^{(k)}(x)=\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k}. $$ Théorème (expression des coefficients d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $n\geq 0$, $$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n! }. $$ Corollaire: Si $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0} b_nx^n$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $n\geq 0$, $a_n=b_n$.
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