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Monday, 22 July 2024
Relation d'équivalence: Définition et exemples. - YouTube

Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Alkiane

Structure quotient [ modifier | modifier le code] Si E est muni d'une structure algébrique, il est possible de transférer cette dernière à l'ensemble quotient, sous réserve que la structure soit compatible (en) avec la relation d'équivalence, c'est-à-dire que deux éléments de E se comportent de la même manière vis-à-vis de la structure s'ils appartiennent à la même classe d'équivalence. L'ensemble quotient est alors muni de la structure quotient de la structure initiale par la relation d'équivalence. Par exemple si ⊤ est une loi interne sur E compatible avec ~, c'est-à-dire vérifiant ( x ~ x' et y ~ y') ⇒ x ⊤ y ~ x' ⊤ y', la « loi quotient de la loi ⊤ par ~ » est définie comme « la loi de composition sur l'ensemble quotient E /~ qui, aux classes d'équivalence de x et de y, fait correspondre la classe d'équivalence de x ⊤ y. » [ 4] (Plus formellement: en notant p la surjection E × E → E /~ × E /~, ( x, y) ↦ ([ x], [ y]) et f l'application E × E → E /~, ( x, y) ↦ [ x ⊤ y], l'hypothèse de compatibilité se réécrit p ( x, y) = p ( x', y') ⇒ f ( x, y) = f ( x', y').

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Rappel: Une relation d'équivalence sur un ensemble est une relation binaire réflexive, symétrique et transitive. Fondamental: Relations d'équivalence dans un groupe: Fondamental: Relations d'équivalence dans un anneau: Si est un idéal de, on lui associe la relation d'équivalence modulo:. Cette relation est compatible avec les deux lois, et l'anneau quotient est noté. Si l'anneau est commutatif:

Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Total Et Partiel

Posté par Edison re: Relation d'équivalence et d'ordre 18-02-18 à 00:28 Merci bcp pour toute l'aide que vous m'avez apporté Posté par carpediem re: Relation d'équivalence et d'ordre 18-02-18 à 09:21 de rien

Relation D Équivalence Et Relation D Ordre Chronologique

Définition1: soit E un ensemble, on nomme relation d'ordre sur E toute relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive sur E. Définition 2: soit E un ensemble, on nomme relation d'ordre strict sur E toute relation binaire antiréflexive et transitive sur E. Définition 3: soit E un ensemble, on nomme relation d'équivalence sur E toute relation binaire réflexive, symétrique, transitive. Ordre total, ordre partiel. une relation d'ordre sur E est dite relation d'ordre total si deux éléments quelconques de E sont comparables, c'est à dire on a situation x y ou bien y x. Si par contre il existe au moins un couple (x; y) où x et y ne sont pas comparables la relation est dite relation d'ordre partiel.

\) Montrons que la classe de \(y\) est contenue dans celle de \(x. \) Soit \(z_1\in C_y. \) On a \(y \color{red}R\color{black} z_1\) et \(x \color{red}R\color{black} y, \) et donc \(x \color{red}R\color{black} z_1\) par transitivité. C'est-à-dire \(z_1\in C_x\) et donc \(C_y\subset C_x. \) De la même façon, on montre \(C_x\subset C_y. \) Donc les deux classes \(C_x\) et \(C_y\) sont confondues. Définition: Représentant d'une classe \(C_x\) est la classe d'équivalence de tout élément \(z\) de \(C_x. \) En effet, si \(y\) et \(z\) appartiennent à la classe de \(x, \) alors leurs classes sont confondues avec celle de \(x. \) Ceci justifie d'appeler tout élément d'une classe représentant de cette classe. Partition d'un ensemble L'ensemble \(E\) est partagé en une réunion disjointe de classes. \(E =\cup_{x\in E}C_x\) Les classes forment une partition de l'ensemble \(E\): Chaque élément de \(E\) appartient à une classe au moins Chaque élément de \(E\) appartient à une seule classe. Exemple: \(\forall x\in E, ~ C_x = \{x\}\) pour l'égalité.

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