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Saturday, 29 June 2024
1. Division euclidienne Définition Soient a a et b b deux entiers relatifs tels qu'il existe un entier relatif k k tel que a = b k a=bk. On dit alors que: b b divise a a; b b est un diviseur de a a; a a est un multiple de b b. Ceci se note b ∣ a b|a Exemple 1 5 = 3 × 5 15=3\times 5 donc: 3 divise 15. 3 est un diviseur de 15. 15 est un multiple de 3. Remarques 0 est un multiple de tout entier relatif. Math TS spécialité : Chapitre 1 : I Divisibilite - YouTube. 1 et -1 sont des diviseurs de tout entier relatif. a a et − a - a ont les mêmes diviseurs. Propriétés Si a a divise b b et b b divise a a, alors a a et b b sont égaux ou opposés. Si a a divise b b et b b divise c c, alors a a divise c c. Si c c divise a a et c c divise b b, alors c c divise toute combinaison linéaire de a a et b b (c'est-à-dire tout nombre de la forme a u + b v; u ∈ Z, v ∈ Z au+bv; u\in \mathbb{Z}, v\in \mathbb{Z}). Théorème et définitions Division euclidienne dans Z \mathbb{Z} Soient a a et b b deux entiers relatifs avec b ≠ 0 b\neq 0. Il existe un et un seul couple d'entiers relatifs ( q, r) \left(q, r\right) tels que: a = b q + r a=bq+r et 0 ⩽ r < ∣ b ∣ 0 \leqslant r < |b|.

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Si a ≡ b [ n] a\equiv b \left[n\right] et b ≡ c [ n] b\equiv c \left[n\right], alors a ≡ c [ n] a\equiv c \left[n\right]. Propriétés (Congruences et opérations) Soient quatre entiers relatifs a, b, c, d a, b, c, d tels que a ≡ b [ n] a\equiv b \left[n\right] et c ≡ d [ n] c\equiv d \left[n\right]. Alors: a + c ≡ b + d [ n] a+c\equiv b+d \left[n\right] et a − c ≡ b − d [ n] a - c\equiv b - d \left[n\right]. a c ≡ b d [ n] ac\equiv bd \left[n\right]. Divisibilité ts spé maths.free. k a ≡ k b [ n] ka\equiv kb \left[n\right] pour tout entier relatif k k. a m ≡ b m [ n] a^{m}\equiv b^{m} \left[n\right] pour tout entier naturel m m. Propriété r r est le reste de la division euclidienne de a a par b b si et seulement si: { r ≡ a [ b] r < ∣ b ∣ \left\{ \begin{matrix} r\equiv a \left[b\right] \\ r < |b| \end{matrix}\right. On cherche à déterminer le reste de la division euclidienne de 2 0 0 9 2 0 0 9 2009^{2009} par 5. 2 0 0 9 ≡ − 1 [ 5] 2009\equiv - 1 \left[5\right] car 2009-(-1)=2010 est divisible par 5. Donc: 2 0 0 9 2 0 0 9 ≡ ( − 1) 2 0 0 9 [ 5] 2009^{2009}\equiv \left( - 1\right)^{2009} \left[5\right] c'est-à-dire 2 0 0 9 2 0 0 9 ≡ − 1 [ 5] 2009^{2009}\equiv - 1 \left[5\right] Or − 1 ≡ 4 [ 5] - 1\equiv 4 \left[5\right] donc 2 0 0 9 2 0 0 9 ≡ 4 [ 5] 2009^{2009}\equiv 4 \left[5\right] Comme 0 ⩽ 4 < 5 0\leqslant 4 < 5, le reste de la division euclidienne de 2 0 0 9 2 0 0 9 2009^{2009} par 5 est 4.

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Mais pour mon exo, là je bloque ^^ 26/09/2008, 19h45 #6 Ben tu essaies comme a et b figurent parmi les diviseurs: 1 et 2 ça va pas, 1 et 3 ça va pas 1 et 5 ça va et ce n'est pas fini Aujourd'hui 26/09/2008, 19h54 #7 Dernière modification par Apprenti-lycéen; 26/09/2008 à 19h57. 26/09/2008, 20h03 #8 Je verrais ça à tête reposée demain, là j'ai les yeux explosés. Sachant qu'après celui là, j'ai encore 6 exos à "essayer de" faire. Je vous remercie pour votre aide, j'exploiterais vos pistes =) Bonne soirée 26/09/2008, 20h15 #9 Bonne chance, bonne soirée à toi aussi 27/09/2008, 15h58 #10 Me revoilà! alors je viens de remarquer que j'avais oublier de vous donner une info assez importante. Les couples doivent être des entiers naturels. et je dois trouver 4 couples de solutions. La divisibilité et la congruence - TS - Cours Mathématiques - Kartable. Donc je Continue à chercher. si vous avez des idées 27/09/2008, 16h06 #11 Han mais je suis trop bête! C'st facile en fait! comme j'ai dit que a+b=X ab=Y (a+b)ab=30 done X*Y=30 donc les 4 couples de solutions sont 1 et 30 2 et 15 10 et 3 5 et 6 27/09/2008, 16h15 #12 Attention, ce qu'on te demande, c'est a et b et pas X et Y.

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