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Preuve Propriété 3 On appelle $f$ la fonction carré. On considère deux réels $u$ et $v$. On a alors $f(u)-f(v) =u^2-v^2 = (u-v)(u + v)$ Montrons tout d'abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u < v \pp 0$. Puisque $u0$. Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $]-\infty;0]$. Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0 \pp u < v$. Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$. Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$. Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement croissante sur $]-\infty;0]$. On obtient ainsi le tableau de variations suivant: 2. La fonction inverse Pro priété 4: La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

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Le maximum de ƒ est 6, il est atteint pour x = 4. Soit ƒ la fonction définie sur I = [0; + ∞[ par: ƒ(x) = 3 - √x ƒ(0) = 3 et pour tout x, ƒ(x) ≤ 3 Donc ƒ admet un maximum qui est 3, atteint en 0 Minimum Le minimum m de ƒ est la plus petite des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D. Sur le graphique, c'est l'ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe. Le minimum de ƒ (s'il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que: ƒ(x) ≥ ƒ(a) pour tout x de I. « le minimum d'une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ». Le minimum de ƒ est -2, il est atteint pour x = 1. Soit f la fonction définie sur ℜ par: ƒ(x) = x² + 5 Pour tout x, x² ≥ 0 donc x² + 5 ≥ 0 + 5 donc ƒ(x) ≥ 5 Pour tout x, ƒ(0) = 5 et ƒ(x) ≥ ƒ(0) donc ƒ atteint en 0 un minimum égal à 5. Extremum Un extremum est un maximum ou un minimum. On connaît le tableau de variations d'une certaine fonction ƒ: Le maximum de ƒ est 1 Le minimum de ƒ est -8 Vous avez choisi le créneau suivant: Nous sommes désolés, mais la plage horaire choisie n'est plus disponible.

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Définition: Fonction carré La fonction définie sur \([0;+\infty[\), qui à tout nombre réel \(x\) positif associe sa racine carrée \(\sqrt x\), est appelée fonction racine carrée. Fondamental: Propriété 1 La fonction \(f:x \longmapsto \sqrt x\) est strictement croissante sur l'intervalle \([0;+\infty[\). Tableau des variations de la fonction racine carrée Définition: Représentation graphique Dans un repère orthogonal d'origine O, la représentation graphique de la fonction racine carrée est une demi-parabole couchée: Complément: Soit f la fonction définie pour tout \(x∈[0;+∞[\) par \(f(x)=\sqrt x\). On se propose d'établir le sens de variation de \(f\) sur \([0;+∞[\). Pour tous nombres réels \(a∈[0;+∞[\) et \(b∈[0;+∞[\) tels que \(a>b\): \(f(a)−f(b)=\sqrt a−\sqrt b=\frac {(\sqrt a-\sqrt b) \times (\sqrt a+\sqrt b)} {\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a) ²-(\sqrt b)²} {\sqrt a+\sqrt b}=\frac {a-b} {\sqrt a+\sqrt b}\). Or le dénominateur \((\sqrt a+\sqrt b)\) est un nombre positif, et le numérateur est aussi positif.

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Preuve Propriété 4 On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ (où $b$ est un réel). Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$. Nous allons essayer de comparer $f(u)$ et $f(v)$ afin de déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Pour cela nous allons chercher le signe de $f(u)-f(v)$. $$\begin{align*} f(u)-f(v) & = (au+b)-(av+b) \\ &= au + b-av-b \\ &= au-av \\ &= a(u-v) \end{align*}$$ On sait que $u 0$ alors $a(u-v) <0$. Par conséquent $f(u)-f(v) <0$ soit $f(u) < f(v)$. La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\R$. si $a = 0$ alors $a(u-v) = 0$. Par conséquent $f(u)-f(v) = 0$ soit $f(u) = f(v)$. la fonction $f$ est donc bien constante sur $\R$. si $a<0$ alors $a(u-v) >0$. Par conséquent $f(u)-f(v) > 0$ soit $f(u) > f(v)$. La fonction $f$ est donc bien décroissante sur $\R$. [collapse] Exemples d'étude de signes de fonctions affines: III Les autres fonctions de référence 1. La fonction carré Proprité 3: La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

$$\begin{align*} f(u)-f(v)&=\sqrt{u}-\sqrt{v} \\ &=\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right) \times \dfrac{\sqrt{u}+\sqrt{v}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \qquad (*) \\ &=\dfrac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} Puisque $u0$. Ainsi $f(u)-f(v)<0$ c'est-à-dire $f(u)

I Généralités Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu'un repère $(O;I, J)$. Définition 1: La fonction $f$ est dite croissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$. Remarque: on constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l'ordre. Définition 2: La fonction $f$ est dite décroissante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$. Remarque: La fonction $f$ change donc alors l'ordre. Définition 3: On fonction est dite constante sur l'intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$. Remarque: Cela signifie donc que, sur l'intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales. Remarque: On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$.

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