Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés By Hermès - Trouver Une Yescard, Obtenir Une Yescard

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Friday, 19 July 2024

3. On montre que pour tout entier naturel n, si P n est vraie, alors P n+1 est encore vraie. Pour rédiger, on écrit: "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que P n soit vraie". On doit montrer que P n+1 est encore vraie, donc que 4 n+1 -1 est un multiple de 3. C'est l'étape la plus difficile, mais après quelques calculs, on y arrive. 4 n ×3 est bien sûr un multiple de 3. 4 n -1 est un multiple de 3 car P n est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3 donc 4 n ×3+4 n -1 est un multiple de 3. Donc 4 n+1 -1 est un multiple de 3, donc P n+1 est vraie. 4. On conclut. Comme P 0 est vraie et que pour tout entier naturel n, P n ⇒P n+1, on a P 0 ⇒P 1, donc P 1 est vraie, puis P 1 ⇒P 2 donc P 2 est vraie, etc. Donc P n est vraie pour tout n. Pour rédiger, on écrit simplement: "Par principe de récurrence, P n est vraie pour tout n". Le raisonnement par récurrence sur cours, exercices

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A l'opposé de la vision intuitionniste de Poincaré, il est parfois possible de faire des raisonnement par récurrence (ou tout comme... ) dans des ensembles non dénombrables, en utilisant le lemme de Zorn.

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conclusion: la propriété $P_n$ est vraie pour tout $n\geq 1$. Il ne faut pas oublier l'initialisation! On peut prouver que la propriété $P_n$: "$3$ divise $4^n+1$" est héréditaire.... mais toujours fausse! Il existe toute une variété de raisonnement par récurrence: les récurrences doubles: on procède 2 par 2, c'est-à-dire que l'on prouve que $P_0$ et $P_1$ sont vraies, et on suppose que $P_n$, $P_{n+1}$ sont vraies pour prouver que $P_{n+1}$ et $P_{n+2}$ sont vraies. les récurrences descendantes: on prouve qu'à un certain rang $k$, $P_k$ est vraie, et on montrer que si $P_n$ est vraie, alors $P_{n-1}$ est vraie. Alors les propriétés $P_0, \dots, P_k$ sont vraies! C'est à Pascal que l'on doit la première utilisation du raisonnement par récurrence, dans le Traité du triangle arithmétique. Ses correspondances permettent même de dater la découverte avec précision, entre le 29 juillet et le 29 aout 1654. Pour Poincaré, le raisonnement par induction est LE raisonnement mathématique par excellence.

ii) soit p un entier ≥ 1 tel que P(p) soit vrai, nous avons donc par hypothèse u p = 3 − 2 p−1. Montrons alors que P(p+1) est vrai, c'est-à-dire que u p+1 = 3 − 2 (p+1)−1. calculons u p+1 u p+1 = 2u p − 3 (définition de la suite) u p+1 = 2(3 − 2 p−1) − 3 (hypothèse de récurrence) u p+1 = 6 − 2 × 2 p−1 − 3 = 3 − 2 p−1+1 = 3 − 2 p d'où P(p+1) est vrai Conclusion: P(n) est vrai pour tout entier n > 0, nous avons pour tout n > 0 u n = 3 − 2 n−1. b) exercice démonstration par récurrence de la somme des entiers naturels impairs énoncé de l'exercice: Calculer, pour tout enier n ≥ 2, la somme des n premiers naturels impairs. Nous pouvons penser à une récurrence puisqu'il faut établir le résultat pour tout n ≥ 2, mais la formule à établir n'est pas donnée. Pour établir cette formule, il faut calculer les premiers valeurs de n et éssayer de faire une conjecture sur le formule à démontrer (essayer de deviner la formule) et ensuite voir par récurrence si cette formule est valable. pour tout n ≥ 2, soit S n la somme des n premiers naturels impairs.

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