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Tuesday, 9 July 2024

Et justement, la cerise sur le gâteau: le cas $b=a+1$ se règle avec Gauss, et permet de voir au passage que la règle de Gauss est encore un raffinement de Raabe-Duhamel. Gauss permet de conclure quand on a un développement asymptotique de la forme $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \dfrac{r}{n} + \mathcal{O}\bigg( \dfrac{1}{n^k}\bigg)$ avec $\boxed{k>1}$: $\displaystyle \sum u_n$ converge $\Longleftrightarrow r>1$. Mais ça, c'est bon: pour rappel, d'après tout à l'heure, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1-\dfrac{(b-a)}{n}+(b-a)\dfrac{1}{n}\dfrac{b}{(n+b)}=1-\dfrac{(b-a)}{n}+\dfrac{1}{n^2}\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)}$, et $\dfrac{1}{n^2}\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)} = \mathcal{O}\bigg( \dfrac{1}{n^2}\bigg)$ car $\dfrac{b(b-a)}{(1+b/n)}$ converge (donc est borné à partir d'un certain rang). Règle de raabe duhamel exercice corrigé de. Ici, $k=2$, donc $k>1$, Gauss s'applique. Donc $\displaystyle \sum u_n$ converge $\Longleftrightarrow (b-a) >1$, donc quand $b>a+1$. Notre dernier cas d'indétermination est divergent. Nota Bene: "au propre", évidemment, il suffit de claquer le critère de Gauss pour tout faire d'un coup.

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Règle de Kummer [ modifier | modifier le code] La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit [ 4], [ 5]: Soient ( u n) et ( k n) deux suites strictement positives. Si ∑1/ k n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k n u n / u n +1 – k n +1 ≤ 0, alors ∑ u n diverge. Si lim inf ( k n u n / u n +1 – k n +1) > 0, alors ∑ u n converge. Henri Padé a remarqué en 1908 [ 6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs [ 2]. Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand [ 7] (en prenant k n = n ln ( n)), dont le critère de Gauss [ 8], [ 9] est une conséquence. Notes et références [ modifier | modifier le code] ↑ (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 ( ISBN 978-1556080104, lire en ligne). Règle de raabe duhamel exercice corrigé de la. ↑ a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité. ↑ (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 ( lire en ligne), p. 33, exemple 2.

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Exercices - Séries numériques - étude pratique: corrigé Convergence de séries à termes positifs Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé - ⋆ 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d'Alembert. 3. On a: Il résulte de lim∞ n 2 un = exp 2 ln n − √ n ln 2 = exp − √ ln n n ln 2 − 2 √. n ln n √ n = 0 que lim n→∞ n2un = 0, et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient et la série est donc divergente. un ∼+∞ 5. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l'équivalent 1 − cos x ∼0 x2 2, on voit que: et la série est convergente. un ∼+∞ 1 n, π2, 2n2 6. Règle de raabe duhamel exercice corrigé anglais. On a (−1) n + n ∼+∞ n et n 2 + 1 ∼+∞ n 2, et donc (−1) n + n n 2 + 1 ∼+∞ Par comparaison à une série de Riemann, la série n un est divergente.

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Ce n'est pas difficile: $\dfrac{1}{n}\epsilon_n = \dfrac{1}{n+b}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n+b-n}{n(n+b)}=\dfrac{1}{n}\dfrac{b}{n+b}$, donc $\epsilon_n=\dfrac{b}{n+b}$, qui tend bien vers $0$. Donc on peut tester Raabe-Duhamel: si $b-a>1$, $\displaystyle \sum u_n$ converge, si $b-a<1$, $\displaystyle \sum u_n$ diverge, et si $b-a=1$, alors on ne sait pas avec cette règle. Tiens, tiens, le cas d'indétermination est $b=a+1$, la situation de la question 1. Exercices corrigés -Séries numériques - convergence et divergence. Comme par hasard! On voit qu'en fait, la formulation de l'exercice version Gourdon est nettement plus pédagogique: sans aucune indication, on commence par tester d'Alembert puisque ça nous demande moins de travail (juste un calcul de limite), comme ça ne marche pas, on accepte de bosser un peu plus pour appliquer Raabe-Duhamel (et donc on comprend que c'est un raffinement de d'Alembert), et ce n'est que maintenant qu'on traite le cas $b=a+1$, après avoir bien bossé, compris plein de choses d'un point de vue méthode, et compris pourquoi le cas $b=a+1$ reste à faire à part.

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\ \cos\left(\frac 1n\right)-a-\frac bn, \ a, b\in\mathbb R. \\ \displaystyle \mathbf 3. \ \frac{1}{an+b}-\frac{c}n, \ a, b, c\in\mathbb R, \ (a, b)\neq (0, 0) \displaystyle \mathbf 1. \ \left(\frac{n+a}{n+b}\right)^{n^2} && \displaystyle \mathbf 2. \ \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3}, \ a\in\mathbb R Enoncé Déterminer en fonction des paramètres la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes: \displaystyle \mathbf 1. \ u_n=\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^\alpha}, \ \alpha\geq 0&& \displaystyle \mathbf 2. \ \frac{1}{n^\alpha}\left((n+1)^{1+1/n}-(n-1)^{1-1/n}\right), \ \alpha\in\mathbb R. Enoncé Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes: $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et 0 sinon. $u_n=\arctan(n+a)-\arctan(n)$, avec $a>0$. Tous les articles de la catégorie Exercices corrigés de séries - Progresser-en-maths. Enoncé Soit, pour $n\geq 1$ et $a>0$, la suite $u_n=\frac{a^n n! }{n^n}$. Étudier la convergence de la série $\sum_n u_n$ lorsque $a\neq e$. Lorsque $a=e$, prouver que, pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n\geq 1$. Que dire de la nature de la série $\sum_n u_n$?

Question pour toi: le corrigé donne-t-il une forme explicite $u_n=f(n)$ ou non? Si oui, donne-la moi, sinon, continue à lire. Je disais donc qu'à ce stade, techniquement, je suis potentiellement bloqué. Là, ce que tu fais à chaque fois, c'est venir sur le forum pour râler, dire que c'est infaisable pour X raison, et c'est là que tu fais ta première erreur: tu arrêtes de réfléchir et d'utiliser tes ressources à fond. Exercice corrigé : Règle de Raabe-Duhamel - Progresser-en-maths. Cependant, je te donne une circonstance atténuante: si l'exercice est posé de façon trompeuse (ici, il donne l'impression qu'on peut donner une écriture explicite de $u_n$, et qu'elle est nécessaire pour continuer), c'est normal de galérer, c'est pour ça que j'écris ici. D'où l'intérêt de nous écouter quand on te dit que le bouquin est mauvais! J'ai déjà dit que le Gourdon contient le même exercice, mais posé différemment (surtout: posé mieux), donc je vais y faire référence plusieurs fois. Pour information: l'exercice version Gourdon est littéralement "à quelle condition sur $a$ et $b$ la série converge-t-elle, calculer la somme quand c'est le cas. "

7. Par croissance comparée des suites géométriques et la suite factorielle, le terme général ne tend pas vers 0, sauf si a = 0. La série n un est donc convergente si et seulement si a = 0. 8. On écrit tout sous forme exponentielle: On a alors et donc La série est convergente. 1 n. ne −√ n = exp(ln n − √ n). exp(ln n − √ n) exp(−2 ln n) = exp(3 ln n − √ n) → 0 ne −√ n 1 = o n2. 1

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