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$\begin{align} F'(x) &= -\dfrac{1}{4}\text{e}^{-4x} – 4\left(-\dfrac{x}{4} – \dfrac{1}{8}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\ &= \left(-\dfrac{1}{4} + x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\ &= \left(x + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4x} + \dfrac{5}{4} \\\\ &= f(x) Par conséquent la fonction $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ sur $[0;2]$. Correction du sujet de bac TS Amérique du sud nov 2014. L'aire de chaque vantail est donc donnée par: $\mathscr{A} = \displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x = F(2) – F(0)$ Or $F(2) = -\dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} + \dfrac{5}{2}$ et $F(0) = -\dfrac{1}{8}$ Donc $\mathscr{A} = \dfrac{21}{8} – \dfrac{5}{8}\text{e}^{-8} \approx 2, 62 \text{ m}^2$. Partie C: utilisation d'un algorithme On considère la planche numéro $k$. Sa largeur est: $ 0, 12$ Sa longueur est: $\begin{align} f\left((0, 05+0, 12)k\right)-0, 05 &= f(0, 17k)-0, 05 \\\\ &= \left(0, 17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0, 17k} + \dfrac{5}{4} – 0, 05 \\\\ &= \left(0, 17k + \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{-4 \times 0, 17k} + \dfrac{6}{5} \end{align}$.