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$$ On suppose en outre que $p>1$. Déduire de l'inégalité de Hölder l'inégalité de Minkowski: $$\left(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p\right)^{1/p}\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^n b_i^p\right)^{1/p}. $$ On définit pour $x=(x_1, \dots, x_n)\in \mathbb R^n$ $$\|x\|_p=(|x_1|^p+\dots+|x_n|^p)^{1/p}. $$ Démontrer que $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $\mathbb R^n$. Enoncé Démontrer que, pour tout $x>1$, on a $${x}^{n}-1\geq n\left({x}^{\left(n+1\right)/2}-{x}^{\left(n-1)/2\right)}\right). $$ Propriétés des fonctions convexes Enoncé Soient $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que $f$ et $g$ soient convexes, et $g$ est croissante. Démontrer que $g\circ f$ est convexe. Enoncé Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction convexe et strictement croissante. Étudier la convexité de $f^{-1}:f(I)\to I. $ Enoncé Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ convexe. Démontrer que $f$ est continue sur $I$. Le résultat subsiste-t-il si $I$ n'est plus supposé ouvert? Enoncé Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ et convexe.

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Leçon 253 (2020): Utilisation de la notion de convexité en analyse. Dernier rapport du Jury: (2019: 253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse. ) Il s'agit d'une leçon de synthèse, très riche, qui mérite une préparation soigneuse. Même si localement (notamment lors de la phase de présentation orale) des rappels sur la convexité peuvent être énoncés, ceci n'est pas nécessairement attendu dans le plan. Il s'agit d'aborder différents champs des mathématiques où la convexité intervient. On pensera bien sûr, sans que ce soit exhaustif, aux problèmes d'optimisation (par exemple de la fonctionnelle quadratique), au théorème de projection sur un convexe fermé, au rôle joué par la convexité dans les espaces vectoriels normés (convexité de la norme, jauge d'un convexe,... ). Les fonctions convexes élémentaires permettent aussi d'obtenir des inégalités célèbres. On retrouve aussi ce type d'argument pour justifier des inégalités de type Brunn-Minkowski ou Hadamard. Par ailleurs, l'inégalité de Jensen a aussi des applications en intégration et en probabilités.

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Nous allons voir plusieurs applications de l'inégalité de Jensen. Application 1: Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique [ modifier | modifier le wikicode] Propriété Soient, réels strictement positifs. On a:. Autrement dit la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Démonstration La fonction est convexe car. En appliquant le corollaire, on obtient: Application 2: Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne quadratique [ modifier | modifier le wikicode] Considérons la fonction définie par: On a alors:. Par conséquent, est convexe. et en élevant les deux membres à la puissance 1/p, on obtient:. Remarque Si l'on pose dans la formule précédente, on obtient. Le second membre représente la moyenne quadratique des. Par conséquent, compte tenu de l'application 1, on peut dire que la moyenne arithmétique est toujours comprise entre la moyenne géométrique et la moyenne quadratique. C'est-à-dire que:. Application 3: démonstration de l'inégalité de Hölder [ modifier | modifier le wikicode] L'inégalité de Young ci-dessous — donc aussi de celle de Hölder, qui s'en déduit — n'est pas une application de celle de Jensen mais une application directe de l'inégalité de convexité (début du chapitre 1).

[<] Étude de fonctions [>] Inégalité arithmético-géométrique Exercice 1 4684 Par un argument de convexité, établir (a) ∀ x > - 1, ln ⁡ ( 1 + x) ≤ x (b) ∀ x ∈ [ 0; π / 2], 2 π ⁢ x ≤ sin ⁡ ( x) ≤ x. Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité: ∀ x ∈ [ 0; π / 2], 2 π ⁢ x ≤ sin ⁡ ( x) ≤ x ∀ n ∈ ℕ, ∀ x ≥ 0, x n + 1 - ( n + 1) ⁢ x + n ≥ 0 Solution La fonction x ↦ sin ⁡ ( x) est concave sur [ 0; π / 2], la droite d'équation y = x est sa tangente en 0 et la droite d'équation y = 2 ⁢ x / π supporte la corde joignant les points d'abscisses 0 et π / 2. Le graphe d'une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de ses cordes et cela fournit l'inégalité. La fonction x ↦ x n + 1 est convexe sur ℝ + et sa tangente en 1 a pour équation y = ( n + 1) ⁢ x - n ⁢. Le graphe d'une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes et cela fournit l'inégalité. Montrer que f:] 1; + ∞ [ → ℝ définie par f ⁢ ( x) = ln ⁡ ( ln ⁡ ( x)) est concave. En déduire ∀ ( x, y) ∈] 1; + ∞ [ 2, ln ⁡ ( x + y 2) ≥ ln ⁡ ( x) ⁢ ln ⁡ ( y) ⁢.

Rugby TRIBUNAL DE CHALON - Bagarre d'alcooliques ou violences conjugales... Ce jeudi 14 novembre en fin de journée, le tribunal a relaxé un homme qui était poursuivi pour des violences sur sa compagne, et qui en avait reconnu une part. Visite en Bateau - Chalon depuis la Saône - Conseil départemental de Saône-et-Loire. Pourquoi? On va tâcher de vous l'expliquer, parce que l'État de droit a du bon. Le ma Le 15 Novembre 2019 à 19h09 Cinéma Projection lundi de «Maguy Marin: l'urgence d'agir» au Mégarama Axel Lundi soir, en partenariat avec l'Espace des Arts et le Conservatoire du Grand Chalon, l'association pour les mordus de cinéma, La Bobine, vous donne rendez-vous pour «Maguy Marin: l'urgence d'agir», au Mégarama Axel. Plus de détails avec Info Chalo Le 15 Novembre 2019 à 17h07 Chalon sur Saône Folkeuse, Nolwenn Leroy a réexploré à Chalon un patrimoine universel Plus de quatre ans et demi, depuis le 28 mars 2015, qu'elle n'avait pas foulé la scène de la salle Marcel-Sembat, Nolwenn Leroy. Un bail.

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Le 15 Novembre 2019 à 06h37 Tous les nouveaux nés de la maternité William Morey Saône et Loire A 406 - N79 - Mise en service d'une section aménagée sur 4, 5 kilomètres Entre le vendredi 8 et le mardi 12 novembre, APRR a mis en service un nouveau maillon autoroutier de la Route Centre-Europe-Atlantique (RCEA). Il a été aménagé à 2 x 2 voies à la jonction avec l'autoroute A6 entre Mâcon et Charnay-lès-Mâcon. Le 14 Novembre 2019 à 19h00 Ailleurs Un sanglier déterre 20 000 € de cocaïne En enfouissant leur stock de cocaïne dans un bois en Toscane (Italie), les narcotrafiquants pensaient sûrement avoir trouvé un lieu sûr. Pmi chalon sur saone map. C'était sans compter sur la visite de… sangliers. Le 14 Novembre 2019 à 18h57 Grand Chalon Le Grand Chalon lauréat du Prix TERRITORIA Le Grand Chalon a reçu le 13 novembre dernier au Sénat le prix Territoria d'argent dans la catégorie Aménagement de l'espace public-Urbanisme pour son dispositif « Réinventez la maison sur sous-sol ». Le 14 Novembre 2019 à 14h47 Bébés nés sans bras dans l'Ain: ouverture d'une enquête judiciaire Ce sont 8 enfants qui sont nés sans avant-bras sur un périmètre de 17 kms dans l'Ain entre 2009 et 2014.

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Contexte crise sanitaire Covid 19 Retrouvez ci-dessous les dernières recommandations nationales sur les conduites à tenir par les professionnels de l'accueil du jeune enfant. En cas de besoin, le service de PMI reste à disposition des assistantes maternelles, MAM et EAJE à l'adresse mail: Crise sanitaire – Possibilité pour les assistantes maternelles d'accueillir temporairement jusqu'à 6 enfants Le décret n° 2021-1957 du 31 décembre 2021 a réactivé par précaution, dans le contexte d'une possible évolution de la situation sanitaire dans les prochaines semaines, la dérogation transitoire, déjà autorisée une partie de l'année 2020, au nombre d'enfants que les assistantes maternelles peuvent accueillir. Les assistantes maternelles exerçant à leur domicile ou en MAM sont ainsi autorisées à accueillir jusqu'à 6 enfants. PMI Chalon-sur-Saône - Tous les centres de Chalon-sur-Saône (71100). Lorsque l'assistante maternelle exerce à son domicile, le nombre de mineurs de tous âges placés sous sa responsabilité exclusive présents simultanément à son domicile ne peut excéder huit, dont au maximum quatre enfants de moins de trois ans.

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Vos droits et vos obligations La charte nationale pour l'accueil du jeune enfant fixe les grands principes et les valeurs essentielles que l'ensemble des acteurs de l'accueil du jeune enfant partagent et intègrent à leur pratique professionnelle pour permettre à ce dernier de grandir en toute confiance. En tant qu'assistant maternel, vous êtes en lien régulier avec le service de PMI qui peut vous apporter conseils et accompagnement dans l'exercice de votre métier. Vous êtes également tenu de respecter des obligations vis-à-vis de ce service notamment pour l'accueil des enfants.

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