Méthode De Héron Exercice Corrigé | Grade Dans L Armée Romaine Codycross 19

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Thursday, 4 July 2024

Ton prof de soutien scolaire en ligne t'aide à déterminer la valeur approchée de racine(2) par la méthode de Héron, avec un tableur et en créant un algorithme sous Python. Ce cours de maths associe méthodes traditionnelle (Héron) et moderne (Python) pour déterminer la valeur approchée de racine(2). Rappel historique: Formule de Héron Il existe un très ancien document babylonien donnant une approximation de la racine de 2 sous la forme 1 24 51 10 en sexagésimal, c'est-à-dire, en décimal: 1, 414 212 963, au lieu de 1, 414 213 562. Exercice corrigé Algorithme de Floyd pdf. Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carrée de A c'est trouver un carré dont l'aire est A A partir d'un rectangle de longueur et de largeur, on prend un nouveau rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit:, et dont l'aire reste A. En itérant le processus on se rapproche d'un carré d'aire figure suivante illustre cette technique: 1ere méthode: formule de Héron: Cellule A2=1 Cellule B2: Cellule A3: Puis on étire vers le bas.

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$$On en déduit alors que:$$v_n=2^n-1$$et donc que:$$d_n=\frac{1}{2^{2^n-1}}. $$Ainsi, si on veut une valeur approchée de \(\sqrt{a}\) à \(10^{-p}\), il faut que:$$\begin{align}\frac{1}{2^{2^n-1}}\leqslant 10^{-p} \\ & \iff 2^{2^n-1} \geqslant 10^p\\& \iff n \geqslant \log_2\left( \log_2(10^p)+1 \right) \end{align}$$ Ainsi, pour une valeur approchée à \(10^{-9}\), il faut que:$$n\geqslant4, 949$$donc 5 termes suffisent… Rapide la convergence non? Suite de Héron: du côté de Python from math import log, ceil def heron(a, p): u = 3 # premier terme N = ceil( log( log( 10**p, 2) + 1, 2)) for n in range(N): u = 0. 5 * (u + a/u) return u, N print( heron(11, 10)) J'ai ici implémenté une fonction heron(a, p) qui admet deux arguments: " a " est le nombre dont on cherche une valeur approchée à \(10^{-p}\). Ainsi, dans cet exemple, on affiche une valeur approchée de \(\sqrt{11}\) à \(10^{-10}\). Méthode de héron exercice corrige des failles. Il est a noter toutefois qu'il est inutile de mettre de trop grandes valeurs de p car Python est assez limité dans les décimales.

La suite de Héron est donc décroissante. La suite est convergente La suite est minorée et décroissante. D'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge donc. Notons \(\ell\) sa limite. Méthode de héron exercice corrige. Comme f est une fonction continue, on peut écrire: $$u_{n+1} = f(u_n) \Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = f\left(\lim\limits_{n\to+\infty} u_n\right), $$c'est-à-dire:$$\ell = f(\ell). $$On doit donc résoudre cette dernière équation pour déterminer la valeur de la limite de la suite. $$\begin{align}\ell = f(\ell) & \iff \ell = \frac{1}{2}\left(\ell + \frac{a}{\ell}\right)\\&\iff 2\ell = \ell + \frac{a}{\ell}\\&\iff \ell = \frac{a}{\ell}\\&\iff \ell^2=a\\&\iff \ell=-\sqrt{a}\text{ ou}\ell = \sqrt{a} \end{align}$$ Or, tous les \(u_n\) sont positifs donc \(\ell\) ne peut pas être égale à \(\sqrt{a}\). Par conséquent, $$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\sqrt{a}. $$ Vitesse de convergence de la suite de Héron Effectuons le calcul suivant:$$\begin{align}u_{n+1}-\sqrt{a} & = \frac{1}{2}\left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) – \sqrt{a} \\ & = \frac{1}{2}\left( u_n + \frac{a}{u_n} \right) – \frac{1}{2}\times2\sqrt{a}\\&=\frac{1}{2}\left( u_n + \frac{a}{u_n} – 2\sqrt{a}\right)\\&=\frac{1}{2}\left( \frac{u_n^2 + a – 2\sqrt{a}}{u_n} \right) \\& = \frac{1}{2}\times\frac{\left(u_n-\sqrt{a}\right)^2}{u_n} \end{align}$$ Considérons maintenant la suite \((d_n)\) définie par son premier terme \(d_0=1\) et par la relation de récurrence:$$d_{n+1}=\frac{1}{2}d_n^2.

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