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Friday, 30 August 2024

Exercices théoriques Enoncé Soit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ une fonction de classe $C^1$, et $f, g:\mathbb R\to\mathbb R$ deux solutions maximales de l'équation différentielle $y'=F(t, y)$. On suppose qu'il existe $t_0\in\mathbb R$ tel que $f(t_0) f(t, \beta(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$. Si $\alpha<\beta$, on appelle \emph{entonnoir} l'ensemble $\{(t, x);\ \alpha(t)\leq x\leq \beta(t)\}$.

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Combinaisons linéaires Enoncé Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$? $E=\mathbb R^2$, $u=(1, 2)$, $u_1=(1, -2)$, $u_2=(2, 3)$; $E=\mathbb R^2$, $u=(1, 2)$, $u_1=(1, -2)$, $u_2=(2, 3)$, $u_3=(-4, 5)$; $E=\mathbb R^3$, $u=(2, 5, 3)$, $u_1=(1, 3, 2)$, $u_2=(1, -1, 4)$; $E=\mathbb R^3$, $u=(3, 1, m)$, $u_1=(1, 3, 2)$, $u_2=(1, -1, 4)$ (discuter suivant la valeur de $m$). Enoncé Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros. Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros. Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer? Enoncé Dans l'espace vectoriel $\mathbb R[X]$, le polynôme $P(X)=16X^3-7X^2+21X-4$ est-il combinaison linéaire de $P_1(X)=8X^3-5X^2+1$ et $P_2(X)=X^2+7X-2$? Exercice corrigé n°01 - Fonctions linéaires - Le Mathématicien. Dans l'espace vectoriel $\mathcal F(\mathbb R, \mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, la fonction $x\mapsto \sin(2x)$ est-elle combinaison linéaire des fonctions $\sin$ et $\cos$?

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Enoncé Soit $E$ un espace vectoriel et $u_1, \dots, u_n\in E$. Pour $k=1, \dots, n$, on pose $v_k=u_1+\cdots+u_k$. Démontrer que la famille $(u_1, \dots, u_n)$ est libre si et seulement si la famille $(v_1, \dots, v_n)$ est libre. Enoncé Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$. Fonctions linaires :Troisième année du collège:exercices corrigés | devoirsenligne. Pour $k=1, \dots, n-1$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier l'indépendance linéaire de la famille $(w_1, \dots, w_n)$.

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Enoncé Dans $E=\mathcal F(\mathbb R, \mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, est-ce que la fonction $\arctan$ est combinaison linéaire de $e^{x^2}$, $e^{-x}$ et $\sin$? Familles libres Enoncé Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)? $(u, v)$ avec $u=(1, 2, 3)$ et $v=(-1, 4, 6)$; $(u, v, w)$ avec $u=(1, 2, -1)$, $v=(1, 0, 1)$ et $w=(0, 0, 1)$; $(u, v, w)$ avec $u=(1, 2, -1)$, $v=(1, 0, 1)$ et $w=(-1, 2, -3)$; $(u, v, w, z)$ avec $u=(1, 2, 3, 4)$, $v=(5, 6, 7, 8)$, $w=(9, 10, 11, 12)$ et $z=(13, 14, 15, 16)$. Enoncé On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $v_1=(1, 1, 0)$, $v_2=(4, 1, 4)$ et $v_3=(2, -1, 4)$. Exercices corrigés -Équations différentielles non linéaires. Montrer que la famille $(v_1, v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1, v_3)$, puis pour $(v_2, v_3)$. La famille $(v_1, v_2, v_3)$ est-elle libre? $$v_1=(1, -1, 1), \ v_2=(2, -2, 2), \ v_3=(2, -1, 2). $$ Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1, v_2, w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.

Enoncé Démontrer que l'équation différentielle suivante $$y'=\frac{\sin(xy)}{x^2};\ y(1)=1$$ admet une unique solution maximale. Résolution pratique d'équations différentielles non linéaires Enoncé Résoudre les équations différentielles suivantes: $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. \ y'=1+y^2&\quad&\mathbf 2. \ y'=y^2 \end{array}$$ $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1. \ y'+e^{x-y}=0, \ y(0)=0&\quad&\mathbf 2. \ y'=\frac{x}{1+y}, \ y(0)=0\\ \mathbf 3. \ y'+xy^2=-x, \ y(0)=0. \end{array} \mathbf 1. \ y'+2y-(x+1)\sqrt{y}=0, \ y(0)=1&\quad&\mathbf 2. \ y'+\frac1xy=-y^2\ln x, \ y(1)=1\\ \mathbf 3. \ y'-2\alpha y=-2y^2, \ y(0)=\frac\alpha2, \ \alpha>0. \mathbf 1. \ xy'=xe^{-y/x}+y, \ y(1)=0&\quad&\mathbf 2. Fonction linéaire exercices corrigés des épreuves. \ x^2y'=x^2+xy-y^2, \ y(1)=0\\ \mathbf 3. \ xy'=y+x\cos^2\left(\frac yx\right), \ y(1)=\frac\pi4. Enoncé On se propose dans cet exercice de résoudre sur l'intervalle $]0, +\infty[$ l'équation différentielle $(E)$ $$y'(x)-\frac{y(x)}{x}-y(x)^2=-9x^2. $$ Déterminer $a>0$ tel que $y_0(x)=ax$ soit une solution particulière de $(E)$.

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