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Wednesday, 3 July 2024

Pourquoi la moyenne est-elle supérieure à la médiane pour l'asymétrie à droite? L'un des principes de base des statistiques que chaque étudiant apprend vers la deuxième semaine d'introduction aux statistiques est que si la distribution est asymétrique, la moyenne est plus proche de la queue, si la distribution est asymétrique. Dans le cas d'une distribution asymétrique à droite (la queue pointe directement vers la droite numérique), la valeur moyenne est supérieure à la médiane. Qu'est-ce que cela signifie lorsque les données sont asymétriques vers la droite? Les données asymétriques à droite sont généralement le résultat d'une limite inférieure dans un ensemble de données (tandis que les données asymétriques à gauche sont le résultat d'une limite plus élevée). Ainsi, si les limites inférieures de l'ensemble de données sont extrêmement basses par rapport au reste des données, les données seront asymétriques vers la droite. Les effets de démarrage sont une autre cause de biais. Interprétation des résultats principaux pour la fonction Diagramme de symétrie - Minitab. Pourquoi la médiane est-elle moins affectée par les données biaisées que la moyenne?

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On distingue trois types de distributions selon qu'elles sont dissymétriques (asymétriques) à gauche (graphique de gauche), symétriques (graphique du milieu) ou dissymétriques (asymétriques) à droite (graphique de droite). Asymétrie d'une distribution Souvent, l'analyse du diagramme en bâtons – ou de l'histogramme dans le cas d'une D. Asymétrique à droite. G. 1 – permet de se rendre compte du caractère symétrique ou non d'une distribution. L'examen de la boîte à moustaches permet aussi de se faire une idée sur cette question selon que la boîte et les moustaches sont symétriques ou, au contraire, de plus petite amplitude à gauche (asymétrie à gauche) ou à droite (asymétrie à droite). Ainsi, par exemple, le diagramme en bâtons et la boîte à moustaches ci-dessous permettent de se rendre compte aisément que la distribution observée présente une asymétrie gauche, c'est-à-dire que les petites valeurs observées sont plus fréquentes que les valeurs plus élevées. Asymétrie à gauche Mais il est également possible de caractériser l'asymétrie et d'en quantifier l'importance via l'un ou l'autre coefficient d'asymétrie.

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Le coefficient S de Pearson Définition: Le coefficient S de Pearson mesure l'asymétrie d'une distribution par comparaison entre les valeurs de la moyenne et du mode. Il se note: \(S = \frac {\bar x - M_o}{\sigma}\) Méthode: Si S=0, la distribution est symétrique. Si S>0, la distribution est étalée à droite. Si S<0, la distribution est étalée à gauche. Le coefficient B de Pearson Définition: Le coefficient d'asymétrie \(\beta_1\) de Pearson est défini par \(\beta_1=\frac {\mu_3^2}{\mu_2^3}\) où \(\mu_3\) désigne le moment centré d'ordre 3, soit \(\mu_3=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=n} (x_i-\overline{x})^3 \). Asymétrique à droite la photo. \(\mu_2\) désigne le moment centré d'ordre 2, soit \(\mu_2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{i=n} (x_i-\overline{x})^2\), c'est à dire la variance. Méthode: L'interprétation de la valeur de \(\beta_1\) de Pearson se fait comme suit: Si \(\beta_1\) est proche de 0, la distribution est approximativement symétrique. Si \(\beta_1\) >0, elle est étalée à droite pour \(\mu_3>0\). Si \(\beta_1\) >0, elle est étalée à gauche pour \(\mu_3<0\).

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Somme de réalisations indépendantes [ modifier | modifier le code] Soient X une variable aléatoire réelle et la somme de n réalisations indépendantes de X (exemple: la loi binomiale de paramètres n et p, somme de n réalisations indépendantes de la loi de Bernoulli de paramètre p). Grâce à la propriété d' additivité des cumulants, on sait que κ i ( Y) = n κ i ( X), donc: Forme de la distribution [ modifier | modifier le code] Un coefficient nul indique une distribution symétrique. Asymétrique à droite forte. Un coefficient négatif indique une distribution décalée à droite de la médiane, et donc une queue de distribution étalée vers la gauche. Un coefficient positif indique une distribution décalée à gauche de la médiane, et donc une queue de distribution étalée vers la droite. Estimation de l'asymétrie [ modifier | modifier le code] Estimateur non biaisé pour la loi normale [ modifier | modifier le code] Un estimateur de l'asymétrie, non biaisé pour la loi normale, est: où et sont des estimateurs non biaisés respectivement de l'espérance et de la variance.

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