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Le problème du flot de coût minimum est un problème algorithmique de théorie des graphes, qui consiste à trouver la manière la plus économe d'utiliser un réseau de transport tout en satisfaisant les contraintes de production et de demande des nœuds du réseau. Il permet de modéliser tout un ensemble de problèmes pratiques dans lesquels il s'agit de trouver une manière optimale d'acheminer une ressource (par ex. un fluide, de l'électricité) d'un ensemble de sources à un ensemble de puits. Le problème du flot de coût minimum est fondamental dans la mesure où la plupart des autres problèmes de flots, comme le problème de flot maximum, peuvent en être vus comme des cas particuliers. De plus, il est possible de résoudre le problème dans certains cas de manière efficace en utilisant l'algorithme du simplexe pour les réseaux. Définition du problème [ modifier | modifier le code] Soit un réseau de transport, c'est-à-dire un graphe orienté sur lequel sont définies: une fonction prenant des valeurs positives pour les nœuds sources ( i. e. produisant des ressources), négatives pour les nœuds puits ( i. utilisant des ressources) et nulles pour les nœuds dits de transit; une fonction associant à chaque arc sa capacité, i. Un flot nœud pdf. le flot maximum qu'il peut supporter; une fonction mesurant le coût du transport par unité de flot pour une arête donnée.
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Pour définir le problème maître restreint, on associe à chaque arc (i, j) ∈ A+ un sous ensemble de produits ˜K ⊆ K, où A+ définit l'ensemble de tous les arcs (i, j) ∈ A, ainsi que les arcs artificiels: A+= AS {(O(k), D(k)), ∀k ∈ K}. On définit l'ensemble ˜A+, tel que ˜A+= {(i, j) ∈ A+|k ∈ ˜K}, et on dénote par: ˜ V i += { j ∈ V |(i, j) ∈ ˜A+} et ˜V i − = { j ∈ V |( j, i) ∈ ˜A+}. On dénote par ˜˜K, ( ˜˜K ⊆ ˜K), le sous ensemble d'inégalités valides déjà générées dans l'ensemble ˜K, i. e., les inégalités valides fortes (4. 9). Le problème maître restreint est écrit sous la forme suivante: min ∑ k∈ ˜ K ∑(i, j)∈A+Ck i jxki j+ ∑(i, j)∈A+ f i j y i j (4. Un flot nœud meaning. 12) Sujet à ∑ j∈ ˜ V + i x k i j− ∑j∈ ˜V i −xkji= 1, si i = O(k), −1, si i = D(k), ∀i ∈ V, k ∈ ˜K, 0, sinon, (4. 13) xk i j ≤ yi j, ∀(i, j) ∈ A+, k ∈ ˜˜K⊆ ˜K, (4. 14) xk i j ≥ 0, ∀(i, j) ∈ A+, k ∈ ˜K, (4. 15) y i j ≥ 0, ∀(i, j) ∈ A+. (4. 16) La formulation initiale du problème maître restreint est obtenue en n'utilisant que les variables associées aux arcs artificiels.
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On peut, par exemple, les utiliser pour spécifier la classe responsable de la mise en œuvre d'un ensemble tâche. Dans ce cas, la classe en question est responsable de l'implémentation du comportement des nœuds inclus dans ladite partition. Graphiquement, les partitions sont délimitées par des lignes continues. Il s'agit généralement de lignes verticales, comme sur la figure 6. 11, mais elle peuvent être horizontales ou même courbes. Dans la version 2. 3 nœuds d'arrêt que tout pêcheur doit connaître. 0 d'UML, les partitions peuvent être bidimensionnelles, elles prennent alors la forme d'un tableau. Dans le cas d'un diagramme d'activités partitionné, les nœuds d'activités appartiennent forcément à une et une seule partition. Les transitions peuvent, bien entendu, traverser les frontières des partitions. Les partitions d'activités étant des catégories arbitraires, on peut les représenter par d'autre moyens quand une répartition géométrique s'avère difficile à réaliser. On peut ainsi utiliser des couleurs ou tout simplement étiqueter les nœuds d'activité par le nom de leur partition d'appartenance.
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Lorsqu'aucun de ces deux cas ne se présente, nous appliquons la génération de coupes pour améliorer la borne inférieure ZRL.
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