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Supposons que $f$ soit une fonction de deux variables définies sur $J\times I$, où $I$ et $J$ sont des intervalles, à valeurs dans $\mathbb R$. On peut alors intégrer $f$ par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle $I$. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur $J$ par $$F(x)=\int_I f(x, t)dt. $$ On dit que la fonction $F$ est une intégrale dépendant du paramètre $x$. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de $F(x)$ pour chaque $x$. Pour pouvoir étudier $F$, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si $F$ est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème de continuité des intégrales à paramètres: Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$.

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4. Étude d'une intégrale à paramètre On se place dans le cas où. M1. Comment donner le domaine de définition de? Il s'agit de déterminer l'ensemble des tels que la fonction soit intégrable sur. Attention est la variable d'intégration et est un paramètre. M2. On étudie la continuité de sur, en utilisant le paragraphe I. M3. Si l'on demande d'étudier la monotonie de en demandant seulement dans une question située plus loin de prouver que est dérivable: on prend dans et on étudie le signe de en étudiant le signe sur de la fonction. Exercice Domaine de définition et sens de variation de. M4. On démontre que la fonction est de classe en utilisant le § 2, de classe en utilisant le § 3. Dans certains cas, il est possible de calculer l' intégrale définissant et d'en déduire par intégration la fonction, en déterminant la constante d'intégration. M5. Pour déterminer la limite de la fonction en une des bornes de: M5. Il est parfois possible d'encadrer par deux fonctions admettant même limite en, ou de minorer par une fonction qui tend vers en, ou de la majorer par une fonction qui tend vers en.

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d' intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier. Définition formelle [ modifier | modifier le code] Soient T un ensemble, un espace mesuré et une application telle que pour tout élément t de T, l'application soit intégrable. Alors l'application F définie par: est appelée une intégrale paramétrique. Le plus souvent, dans les applications: l' entier naturel n est égal à 1; T est un ouvert de ℝ; est une partie d'un espace euclidien, implicitement munie des tribu et mesure de Lebesgue ou de Borel. les fonctions sont continues et les intégrales sont considérées au sens de Riemann, mais la théorie générale de Lebesgue s'applique à ce cas particulier: sur un segment, une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si elle est continue presque partout, et toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable.

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En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OA), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation: En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OA), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite): L'abscisse x décrit l'intervalle [– a, a] (les bornes sont atteintes pour y = 0). L'ordonnée y décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour). La demi-distance focale est En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ 2 = a 2 cos2 θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ: Propriétés [ modifier | modifier le code] Longueur [ modifier | modifier le code] La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut: où M ( u, v) désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres u et v, est une intégrale elliptique de première espèce et Γ est la fonction gamma. Superficie [ modifier | modifier le code] L'aire de la lemniscate de Bernoulli est égale à l'aire des deux carrés bleus L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut: Quadrature de la lemniscate: impossible pour le cercle, la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli.

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La courbe ainsi définie fait partie de la famille des lemniscates (courbes en forme de 8), dont elle est l'exemple le plus connu et le plus riche en propriétés. Pour sa définition, elle est l'exemple le plus remarquable d' ovale de Cassini. Elle représente aussi la section d'un tore particulier par un plan tangent intérieurement. Équations dans différents systèmes de coordonnées [ modifier | modifier le code] Au moyen de la demi-distance focale OF = d [ modifier | modifier le code] Posons OF = d. En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OF), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation: Démonstration La relation MF·MF′ = OF 2 peut s'écrire MF 2 ·MF′ 2 = OF 4 donc: c. -à-d. : ou: ce qui donne bien, puisque: En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OF), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite): Passons des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes: et donc L'équation polaire devient ainsi ce qui est bien équivalent à L'abscisse x décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour y = 0).

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Me serais je trompé? Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:52 En fait c'est pareil ^^ Donc mea culpa, tu as tout à fait raison! Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:00 Ce n'est pas grave =) Mais je ne parviens toujours à mettre un terme à ce calcul. Dois je tout développer? En réalité je ne vois pas vraiment comment regrouper les termes pour une simplification. Désolé de ne pas beaucoup avancer chaque fois... =( Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:20 Je pose Je note On fait le ménage Patatra!! J'ai dû faire une erreur de calcul, mais au moins je te montre la marche à suivre Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 22:22 Merci beaucoup de ton aide, j'ai compris comment procéder. Je vais finir ça tranquillement. =) Posté par elhor_abdelali re: Calcul d'intégrale 25-05-10 à 01:26 Bonjour; alors voilà ce que j'aurai écrit moi! après avoir justifié l'existence de l'intégrale bien entendu sauf erreur bien entendu Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 25-05-10 à 08:24 C'est en effet plus élégant elhor_abdelali.

Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:11 D'accord très bien. Je te remercie de ton aide. Je vais faire tout ça. Si j'ai d'autre question pour la suite, je me manifesterai à nouveau. Encore merci =) Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:15 De rien & bonne soirée! Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:30 Je trouve la somme de 0 à l'infinie de: C'est étrange car la somme est nulle Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:36 Maple a plutôt: Posté par gui_tou re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:43 Qu'on peut bidouiller en En faisant apparaître la série harmonique, on montre que l'intégrale impropre vaut 1 Posté par Leitoo re: Calcul d'intégrale 24-05-10 à 21:50 C'est exact, c'est que je trouvais en faisant directement le calcul avec maple. Cependant je ne vois pas d'où peut provenir mon erreur: j'ai refait le calcul à plusieurs reprise mais je dois commettre sans cesse la même faute. On obtient les deux intégrales suivant non? qui s'intègre en d'ou le terme Il est en de même pour le second terme.

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