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Bonjour, J'ai à faire pour ces vacances, une devoir maison de mathématiques sur les probabilités. Voici le sujet: On désigne n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient 8 boules blanches et n boules noires. Les boules sont indiscernables. Un joueur tire avec remiser deux boules de l'urne. Il examine leur couleur. PARTIE A Dans cette partie ( et uniquement dans cette partie), on suppose que n=10. Calculer les probabilités des événements suivants: A: " Les deux boules sont blanches" B: "Les deux boules sont de la même couleur" C: "La première boule est blanche et la deuxième est noire" D: "Les deux boules ont des couleurs différentes" PARTIE B Dans cette partie, on suppose que pour chaque boules blanche tirée, il gagne 5 euros, et pour chaque boule noire tirée il perd 10 euros On note X la variable aléatoire qui donne le gain du joueur sur un tirage. Le terme " gain" désignant éventuellement un nombre négatif. 1- Déterminer, en fonction de n, la loi de probabilité de X 2 - Montrer que l'espérance de gain du joueur, en fonction de n, est: E(X) = (-20n-80n+640) / (n+8)² 3 - Y a t'il une valeur de n pour laquelle le jeu est équitable?
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[<] Famille d'événements mutuellement indépendants [>] Formule des probabilités totales et composées Soient A, B, C trois évènements avec P ( B ∩ C) > 0. Vérifier P ( A ∣ B ∩ C) P ( B ∣ C) = P ( A ∩ B ∣ C) . Solution On a P ( A ∣ B ∩ C) P ( B ∣ C) = P ( A ∩ B ∩ C) P ( B ∩ C) P ( B ∩ C) P ( C) = P ( A ∩ B ∣ C) . Soient A et B deux évènements avec P ( A) > 0. Comparer les probabilités conditionnelles P ( A ∩ B ∣ A ∪ B) et P ( A ∩ B ∣ A) . Puisque A ⊂ A ∪ B, on a P ( A ∪ B) ≥ P ( A) puis P ( A ∩ B) P ( A ∪ B) ≤ P ( A ∩ B) P ( A) c'est-à-dire P ( A ∩ B ∣ A ∪ B) ≤ P ( A ∩ B ∣ A) . Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne. (a) Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage? (b) Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire? L'évènement contraire est que le tirage ne comporte que des boules blanches.
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Exercice 5 3954 (Paradoxe des deux enfants) Une famille a deux enfants. Quelle est la probabilité que les deux soient des garçons? Quelle est cette probabilité sachant que l'aîné est un garçon? (c) On sait qu'au moins l'un des enfants est un garçon, quelle est la probabilité que les deux le soient? (d) On sait que l'un des deux enfants est un garçon et qu'il est né un 29 février. Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit aussi un garçon? Exercice 6 4590 Dans une commode à 7 tiroirs figure un billet de 1 dollar avec la probabilité p. Céline a exploré sans succès les six premiers tiroirs. Quelle est la probabilité qu'elle découvre le billet dans le septième tiroir? On considère N coffres. Avec une probabilité p, un trésor à été placé dans l'un de ces coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert N - 1 coffres sans trouver le trésor. Quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre? Solution Considérons l'événement A: un trésor est placé dans l'un des coffres.
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Donc nous sommes dans une épreuve de Bernoulli (expérience où chaque tirage est indépendant). J'ai vu une vidéo sur les arbres de probabilité () ainsi j'ai pu comprendre que lorsqu'il n'y a qu'une possibilité, on multiplie les pondérations de la branche et si il y en a plusieurs, on addition le résultats des multiplications des pondération de chaque branche. Nous arriverons donc ainsi a déterminer la loi de probabilité X selon Bernoulli voici donc mon arbre pondéré cette arbre répond donc à la question 1) 2)a concernant la question 2)b Vous me dites donc que cela est bien la méthode pour y arriver mais je n'ai pas trouvé, mise à part la vidéo, qui montre le pourquoi tu comment et en mathématique, il est primordiale de se raccrocher non pas a des vidéos de youtube mais des théorèmes et preuve. donc si vous pouviez me donner un lien que je puisse m'appuyer sur quelque chose de concret. Concernant la question 2)c nous avons 3 branches qui nous donne 2N et 1B donc d'après mon arbre: (2/10 * 2/10 *8/10)+ (2/10 * 8/10 * 2/10) + (8/10 * 2/10 * 2/10) = 12/125 Est ce bien juste d'un point de vue pratique?
Si oui laquelle? 4 Soit f la fonction définie par f(x) = (-20x²-80x+640) / ( x+8)² a) Déterminer l'ensemble de définition de f. b) Dresser le tableau de signes de f. c) En déduire les valeurs de n pour lesquelles le jeu est favorable. d) Donner la forme factorisée du trinôme: -20x²-80x+640. e) En déduire que, pour tout réel x=/( différent) 8, f(x)= -20+240/x+8 f) Dresser le tableau de variations de f. g) En déduire la valeur de n pour laquelle l'espérance est maximale. J'ai résolu toute la première partie qui est de la probabilité simple ( en faisant attention du fait qu'il y est remise) Cependant je suis bloqué dès la première question de la PARTIE B, dois-je faire un arbre? Si oui il n'est pas trop grand? Pour le reste de la partie je devrais réussir aisément sur tout se qui concerne les fonctions. Je vous remercie de votre aide, et vous souhaite à toute et à tous un joyeux noël!
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