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Wednesday, 12 June 2024
1. Équation réduite d'une droite Propriété Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme: x = c x=c si cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ( « verticale ») y = m x + p y=mx+p si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Dans le second cas, m m est appelé coefficient directeur et p p ordonnée à l'origine. Exemples Remarques L'équation d'une droite peut s'écrire sous plusieurs formes. Par exemple y = 2 x − 1 y=2x - 1 est équivalente à y − 2 x + 1 = 0 y - 2x+1=0 ou 2 y − 4 x + 2 = 0 2y - 4x+2=0, etc. Les formes x = c x=c et y = m x + p y=mx+p sont appelées équation réduite de la droite. Cette propriété indique que toute droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine. (Voir chapitre Fonctions linéaires et affines) Une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient direct m m égal à zéro. "Cours de Maths de Seconde générale"; Equations de droites du plan. Son équation est donc de la forme y = p y=p. C'est la représentation graphique d'une fonction constante.
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Remarque À la première étape de la méthode, il est souvent plus facile de choisir 0 et 1 comme valeurs de x. Ces valeurs simplifient les calculs. Exemple Dans le repère, tracer la droite ( d 1) d'équation y = 2 x + 1. On choisit arbitrairement deux valeurs de x, par exemple 0 et 1. On calcule les valeurs de y correspondantes. Pour x = 0, on a: y = 2 × 0 + 1 = 1. ( d 1) passe donc par le point A(0; 1). Pour x = 1, on a: y = 2 × 1 + 1 = 3. donc par le point B(1; 3). On place ces deux points dans le repère. On trace la droite qui relie les deux points. On obtient la représentation graphique de ( d 1): Parfois, la recherche des coordonnées de deux points de la droite se présente sous la forme d'un tableau. Pour l'exemple précédent, on aurait pu présenter la démarche sous la forme suivante: x 0 1 y 2 × 0 + 1 = 1 2 × 1 + 1 = 3 Avec cette présentation, les coordonnées des deux points se lisent dans les colonnes du tableau. LE COURS - Équations de droites - Seconde - YouTube. Le premier point a pour coordonnées (0; 1) et le deuxième (1; 3). b. En calculant la valeur de l'ordonnée à l'origine et en utilisant le coefficient directeur Méthode à partir de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de y pour laquelle x = 0.

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Remarquez que cette équation peut être multipliée par un réel quelconque, elle reste juste. Ainsi, une droite peut être définie par une infinité d'équations cartésiennes. À partir de là, de deux choses l'une. Soit la droite est parallèle à l'axe des ordonnées (verticale si le repère est orthogonal), alors \(y = 0\) et il existe une unique relation: \(x = - \frac{\delta}{\alpha}. \) Soit elle ne l'est pas et il existe alors deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(y = ax + b. \) La droite coupe l'axe des ordonnées en un unique point. Si \(a = 0, \) la droite est parallèle à l'axe des abscisses; si \(b = 0, \) elle passe par l'origine. L'équation de type \(y = ax + b\) est dite réduite. Elle est UNIQUE pour définir une droite, contrairement à la cartésienne. On appelle \(a\) le coefficient directeur de la droite car il indique sa pente, comme nous allons le voir. Droites du plan seconde guerre. Il DIRIGE. Quant au paramètre \(b, \) il représente l' ordonnée à l'origine puisque si \(x = 0, \) il est manifeste que \(y = b\) et c'est donc au point de coordonnées \((0\, ; b)\) que la droite transperce sans pitié l'axe des ordonnées.

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Bref, \(b\) POSITIONNE. Un point et une direction, c'est bien suffisant pour tracer une droite. Deux droites sont parallèles (ou éventuellement confondues) si elles ont le même coefficient directeur. Droites du plan - Cours et exercices de Maths, Seconde. Sinon elles sont sécantes (voir les positions relatives de droites). Comment déterminer l'équation de la droite à partir de deux points connus? Retrouvons nos chers points \(A\) et \(B\) de coordonnées respectives \((x_A\, ; y_A)\) et \((x_B \, ; y_B)\) dans un plan muni d'un repère. Algébriquement, un coefficient directeur se détermine grâce aux coordonnées de deux points donnés (ou relevés sur la droite): \(\alpha = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) Il est évident que l'on peut choisir n'importe quel couple de points appartenant à la droite et le fait que \(x_A\) soit plus petit ou plus grand que \(x_B\) n'a strictement aucune importance. On peut donc inverser l'ordre des termes dans l'expression de \(a, \) du moment que cette inversion s'opère au numérateur ET au dénominateur. Une fois que l'on connaît \(a, \) il suffit d'utiliser l'équation de la droite en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de l'un des deux points connus et le coefficient \(a\) par la valeur trouvée.

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Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Sur la figure ci-dessous, a 2 = b 2 + c 2. Application Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les deux autres. Exemple 1 Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur BC (arrondie au mm). Le triangle ABC est rectangle en A. Droites du plan seconde les. D'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC² BC² = 3, 4² + 6, 7² BC² = 11, 56 + 44, 89 BC² = 56, 45 BC = cm (valeur exacte) BC 7, 5 cm (valeur arrondie au mm) Exemple 2 Les longueurs sont en cm. Calculer la longueur AB 7, 72² = 3, 12² + AB² 59, 5984 = 9, 7344 + AB² AB² = 59, 5984 – 9, 7344 AB² = 49, 864 AB = m (valeur exacte) BC 7, 06 m (valeur arrondie au cm)

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Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires (voir exemple suivant). Le principe est toujours d'éliminer une inconnue dans certaines équations. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). 1. Tracer les droites associées au système: (S): $\{\table x-3y+3=0; x-y-1=0$ 2. Résoudre graphiquement le système précédent. 3. Après avoir vérifié par un calcul rapide que le système a bien une solution unique, résoudre algébriquement ce système. Droites du plan seconde simple. 1. Méthode 1: A savoir: une égalité du type $ax+by+c=0$ (avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls) est une équation cartésienne de droite. Il est facile d'en trouver 2 points en remplaçant, par exemple, $x$ par 0 pour l'un, et $y$ par 0 pour l'autre. La première ligne est associée à la droite $d_1$ passant par les points $A(0;1)$ et $B(-3;0)$. Ici, pour trouver A, on a écrit: $0-3y+3=0$, ce qui a donné: $y=1$. Et pour trouver B, on a écrit: $x-3×0+3=0$, ce qui a donné: $x=-3$.

(S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-y-1, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-x+y+1, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$ La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $x$ dans la ligne $L_2$ (S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2y+4, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; y, =, 2$ $⇔$ $\{\table x-3×2+3, =, 0; y, =, 2 $ $⇔$ $\{\table x=3; y=2 $ Méthode 2: Nous allons procéder par substitution. (S) $⇔$ $\{\table y={-1}/{-3}x-{3}/{-3}; x-y-1=0$ Remplacer $y$ par son expression dans la seconde ligne permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans dans la seconde ligne $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-({1}/{3}x+1)-1=0$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x-{1}/{3}x-1-1=0$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; {2}/{3}x=2$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}x+1; x=2×{3}/{2}=3$ $⇔$ $\{\table y={1}/{3}×3+1=2; x=3$ Méthode 3: Pour les curieux, nous allons procéder par combinaisons linéaires en choisissant d'éliminer $y$ cette fois-ci. $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); 3x-3y-3, =, 3×0, (3L_2 ⇨L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); x-3y+3-3x+3y+3, =, 0-0, (L_1-L_2 ⇨L_2)$ La soustraction $L_1-L_2 ⇨L_2$ permet d'éliminer l'inconnue $y$ dans la ligne $L_2$ (S) $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0, (L_1); -2x+6, =, 0, (L_2)$ $⇔$ $\{\table x-3y+3, =, 0; x, =, 3$ $⇔$ $\{\table 3-3y+3, =, 0; x, =, 3 $ $⇔$ $\{\table y=2; x=3 $ On retrouve la solution du système $(x;y)=(3;2)$.

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«J'adore les anciens camions. Ils avaient beau­coup plus de personnalité que les modèles actuels qui se ressemblent tous. Tout est uniformisé de nos jours», déplore Didier Marchesi. En feuilletant ses différents albums de photos, dont une demi-douzaine concernent Friderici, on tombe sur de véritables trésors, à commencer par le camion Vivi-Kola de l'entreprise de transport Morel Frères à Morges (VD). Camion modele réduit les. Ce camion est immortalisé ici devant le village vaudois de Vufflens-le-Château. (lm)

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