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Monday, 29 July 2024
Examinons le cas d'une fonction des quatre variables A, B, C, D, les variables A et B étant assignées aux lignes, C et D aux colonnes de la table ci-dessous. Cette table est proche du diagramme de Veitch antérieur. Pour rendre plus évidentes les simplifications cherchées, Karnaugh propose, pour la succession des valeurs données à C et D, ainsi qu'à A et B, d'employer un code de Gray, de sorte que les valeurs de deux repères consécutifs ne diffèrent que par la modification d'une seule variable, et fasse apparaître des symétries utiles. Ainsi: Alors, on assigne à la case de la ligne 4, colonne 2 la valeur de quand et. Cette valeur peut être trouvée dans la table de vérité ou par une équation à simplifier. Les valeurs du tableau de Karnaugh considéré correspondent aux valeurs de la table de vérité suivante: Pour trouver l'équation de S, c'est simple. Il y a deux méthodes: Pour trouver une somme, il faut regrouper les valeurs de S égales à 1. Le nombre de 1 dans chaque groupe doit être égal à une puissance de 2.

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Nous avons vu que les règles et propriétés de l'algèbre de Boole permettent de simplifier les expressions logiques d'une fonction. Cette procédure est cependant relativement lourde et ne permet jamais de savoir si l'on aboutit à une expression minimale de la fonction ou pas. La méthode dite du tableau de Karnaugh allège et simplifie le travail du logicien. La méthode inventée par Karnaugh Nous pourrons utiliser la méthode du tableau de Karnaugh. Dans le cas de deux variables binaires, nous avons quatre possibilités (ou combinaisons) à envisager que nous traduisons sous la forme de la table de vérité suivante: A chaque combinaison des variables est associée une valeur de la fonction. Principes de simplification L'idée de KARNAUGH est d'associer une surface à chaque combinaison des variables, en adoptant la représentation suivante: Nous disposons donc de 4 cases correspondant aux 4 combinaisons de variables. La case 1 correspond à la combinaison a = 0 et b = 0 ⇒ ( a. b) La case 2 correspond à la combinaison a = 1 et b = 0 ⇒ (a ⋅ b) La case 3 correspond à la combinaison a = 0 et b = 1 ⇒ ( a ⋅ b) La case 4 correspond à la combinaison a = 1 et b = 1 ⇒ (a ⋅ b) Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de la fonction pour la combinaison de variables correspondant à cette case.

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Dans ce cas la représentation devient: Tableau de Karnaugh à 4 variables A chaque case est associé un quadruplet des valeurs a, b, c, d. Exemples: la case 4 représentera le quadruplet {1, 0, 0, 0} ou a = 1, b = 0, c = 0 et d = 0 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d). La case 11 représentera le quadruplet {1, 1, 1, 1} ou a = 1, b = 1, c = 1 et d = 1 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d). La case 16 représentera le quadruplet {1, 0, 1, 0} ou a = 1, b = 0, c = 1 et d = 0 (a ⋅ b ⋅ c ⋅ d). Adjacences des cases Dans chaque cas, l'ordre d'écriture des états des variables fait qu' entre deux cases voisines (en ligne ou en colonne) une seule variable change d'état; on dit de telles cases qu'elles sont adjacentes. La case 2 correspond à a = 0; b = 1; c = 0; d = 0 La case 3 correspond à a = 1; b = 1; c = 0; d = 0 Lorsque nous passons de 2 à 3, seule la variable "a" change d'état: 2 et 3 sont adjacentes. Lorsque nous passons de 2 à 1, seule la variable "b" change d'état: 2 et 1 sont adjacentes. Lorsque nous passons de 2 à 6, seule la variable "d" change d'état: 2 et 6 sont adjacentes.

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Pages pour les contributeurs déconnectés en savoir plus Pour les articles homonymes, voir Karnaugh et Table (homonymie). Une table de Karnaugh ( prononcé [ k a ʁ. n o]) est une méthode graphique et simple pour trouver ou simplifier une fonction logique à partir de sa table de vérité. Elle utilise le code de Gray (aussi appelé binaire réfléchi), qui a comme propriété principale de ne faire varier qu'un seul bit entre deux mots successifs (la distance de Hamming de deux mots successifs du code de Gray est égale à 1). Cette méthode a été développée par Maurice Karnaugh en 1953, en perfectionnant un diagramme similaire introduit en 1952 par Edward Veitch (en). Un tableau de Karnaugh peut être vu comme une table de vérité particulière, à deux dimensions, destinées à faire apparaître visuellement les simplifications possibles. Supposons ou variables: on assignera par exemple ou variables au repérage des lignes, les autres variables au repérage des colonnes. Chaque case élémentaire correspond alors à une seule ligne et à une seule colonne, donc à une seule combinaison des variables.

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Les groupes formés doivent être les moins nombreux possibles, mais ils doivent englober tous les 1. Un 1 peut être inclus dans plus d'un groupe, par contre aucun 0 ne doit être inclus. Les groupes sont composés d'une ou plusieurs colonnes et d'une ou plusieurs lignes. Si possible, assemblez-les par valeurs d'entrées communes. Par exemple, la colonne 2 et la colonne 3 ont pour valeur commune D=1. La ligne 1 et la ligne 4 ont la valeur B=0 en commun.. Pour les tables à 4 variables, de préférence procéder dans l'ordre suivant: Dans l'exemple pris ci-dessus: on peut former un rectangle de 8 cases, puis un carré de 4 (le rectangle des colonnes 2 et 3 et le carré au croisement des lignes 2-3 et des colonnes 3-4). Le rectangle correspond à l'équation « D » car dans ces deux colonnes et dans ces deux colonnes seulement, D est toujours égal à 1. Le carré correspond à l'équation « B·C » car dans ces cases et dans ces cases seulement B=1 et C=1. S est représenté par l'union des 2 figures, et on obtient pour équation de S: « S = D + B·C ».

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