Les Minions Stuart Guitare – Yvan Monka Probabilité Conditionnelle
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(1) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – Tout le cours en vidéo: I. Notion de probabilité conditionnelle Exemples: Vidéo 1) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit 𝐴 l'événement "Le résultat est un pique". Soit 𝐵 l'événement "Le résultat est un roi". Donc 𝐴 ∩ 𝐵 est l'événement "Le résultat est le roi de pique". Alors: 𝑃(𝐴) =! "# = $% et 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = $ "#. Définition: Soit A et B deux événements avec 𝑃(𝐴) ≠ 0. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. Elle est notée 𝑃! (𝐵) et est définie par: 𝑃! (𝐵) = &((∩*) &((). Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est donc: 𝑃! (𝐵) = &((∩*) &(() = $ "#: $% = $!. On peut retrouver intuitivement ce résultat. En effet, sachant que le résultat est un pique, on a une chance sur 8 d'obtenir le roi parmi les piques. 2) Un sac contient 50 boules, dont 20 boules rouges et 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu" Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné.
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(3) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – - A partir du nœud "On tire une boule", on a: 𝑃(𝑅) + 𝑃(𝑅1) = 0, 4 + 0, 6 = 1 - A partir du nœud "Boule rouge", on a: 𝑃 " (𝐺̅) = 1 − 𝑃 " (𝐺) = 1 − 0, 75 = 0, 25. Ces exemples font apparaître une formule donnée au paragraphe I. Règle 2: La probabilité d'une "feuille" (extrémité d'un chemin) est égale au produit des probabilités du chemin aboutissant à cette feuille. Exemple: On considère la feuille 𝑅 ∩ 𝐺. On a: 𝑃(𝑅 ∩ 𝐺) = 𝑃(𝑅) × 𝑃 " (𝐺) = 0, 4 × 0, 75 = 0, 3 Règle 3 (Formule des probabilités totales): La probabilité d'un événement associé à plusieurs "feuilles" est égale à la somme des probabilités de chacune de ces "feuilles". L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux feuilles 𝑅 ∩ 𝐺 et 𝑅1 ∩ 𝐺. On a: 𝑃(𝑅 ∩ 𝐺) = 0, 3 et 𝑃(𝑅1 ∩ 𝐺)= 1 -, = 0, 18 (Probabilité de tirer une boule noire marquée Gagné) Donc 𝑃(𝐺) = 𝑃(𝑅 ∩ 𝐺) + 𝑃(𝑅1 ∩ 𝐺) = 0, 3 + 0, 18 = 0, 48. Méthode: Calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle.
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Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2% est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants: – si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85% des cas; – si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note respectivement 𝑀 et 𝑇 les événements « Être porteur de la maladie » et « Avoir un test positif ». 1) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif? D'après BAC S, Antilles-Guyanne 2010 2) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade? 1) La probabilité que le test soit positif est associée aux deux feuilles 𝑀 ∩ 𝑇 et 𝑀> ∩ 𝑇. (4) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – D'après l'arbre de probabilité ci-dessous, on a: 𝑃(𝑇) = 𝑃(𝑀 ∩ 𝑇) + 𝑃(𝑀> ∩ 𝑇) (Formule des probabilités totales) = 0, 02 × 0, 85 + 0, 98 × 0, 05 = 0, 066.
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Une statistique donne en effet le ton: l'alcool est en cause dans près de 30% des accidents mortels. Seulement, dans ce cas, après un rapide calcul, on se rend compte que cela signifie que 70% des accidents sont causés par des personnes ayant bu de l'eau. Alors, vraiment dangereux l'alcool? Paradoxe des deux enfants – Episode 2! Pour le premier épisode: cela se passe ici! Rassurez-vous, il n'est pas utile de comprendre toute la vidéo pour bien suivre la suite du raisonnement! Ce paradoxe peut s'expliquer en deux mots: probabilité conditionnelle Peut-être vous êtes-vous dit que l'on calculait à chaque fois les mêmes probabilités, qu'il n'y avait pas lieu que celles-ci changent. YouTube. Planche de Galton. TP GALTON. Planche de Galton avec "probas intermédiaires" par Christian Segouin. Galton Board. Maths Zone at Cambridge Science Festival 2013. StatJustice. Mathématiques et justice: les formules ont-elles un rôle à jouer dans les procès criminels? - WebTV Université de Lille. Les réseaux bayésiens.
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Si sa notoriété s'est constituée au fil des années, il est mis en lumière lors du confinement de 2020 et est considéré comme un pilier de soutien pour les enseignants, parents, collégiens ou lycéens grâce à ses centaines de vidéos qui peuvent être utilisées et partagées pendant le confinement sans condition, ni restriction [ 1]. Il est presque reconnu comme un mème au sein des classes. Le 19 mars, il anticipe un don de 5 000 € à la Fondation Hôpitaux de Paris-Hôpitaux de France [ 1]. Le 26 novembre 2020, alors que la France subit son deuxième confinement de l'année, Yvan Monka annonce avoir passé le million d'abonnés sur sa chaîne [ 5]. Il est membre de l' Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public [ 1]. En 2021, il est élu « Alsacien de l'année » par le journal L'Alsace à la suite des votes des internautes sur leur site [ 6].
Rappel: Le cas particulier en cas d'événements disjoints s'applique très bien à la situation d'une partition de l'univers en plusieurs événements. Supposons que l'univers Ω possède une partition en trois événements A, B et C et que nous connaissons les probabilités conditionnelles d'un événement D sachant A, B et C. On sait: d'une part que \(D=(A\cap D)\cup (B\cap D)\cup (C\cap D)\), d'autre part que \((A\cap D)\), \((B\cap D)\) et \((C\cap D)\) sont disjoints. Donc \(P(D)=P(A\cap D)+ P(B\cap D)+ P(C\cap D)\). Par conséquent \(P(D)=P(A)\times P_A(D)+P(B)\times P_B(D)+P(C)\times P_C(D)\) Par conséquent, on peut calculer la probabilité d'un événement sachant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers. Méthode: Traduction sur un arbre pondéré Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un événement D associé à plusieurs feuilles est égale à la somme des probabilités de chacune de ces feuilles. Exemple: Un magasin de sport propose des réductions sur les 3 marques qu'il distribue.