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Il arrive que certaines équations ne puissent pas être résolues algébriquement. Après avoir prouvé qu'elles admettent des solutions en utilisant, par exemple, le théorème des valeurs intermédiaires, il est alors utile d'avoir des méthodes pour déterminer une approximation numérique des solutions recherchées. Les méthodes présentées servent à trouver une approximation numérique d'équations de la forme f ( x) = 0 ou se ramenant à une équation de la forme f ( x) = 0 sur un intervalle [ a; b], avec a et b deux nombres réels et f une fonction monotone définie sur [ a; b]. 1. La méthode par dichotomie a. Principe On considère une fonction f définie sur un intervalle I. On cherche à résoudre l'équation f ( x) = 0 sur un intervalle [ a; b] après avoir prouvé que la fonction f est monotone et s'annule sur cet intervalle. On se fixe une précision e (par exemple à 10 –2). Pour cela, on utilise l'algorithme suivant. On partage l'intervalle [ a; b] en deux intervalles [ a; m] et [ m; b] avec. On choisit l'intervalle qui contient la solution pour cela, on calcule f ( a) × f ( m): si f ( a) × f ( m) ⩽ 0 cela signifie que f ( a) et f ( m) sont de signes contraires, donc la solution est dans l'intervalle [ a; m]; sinon la solution est dans l'intervalle [ m; b].

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On reprend l'étape 1 tant que ( b – a) est supérieur à la précision e fixée. Pour cela, on remplace l'intervalle [ a; b] par celui qui contient la solution. Exemple On considère la fonction f définie sur [0; 1] par f ( x) = e x – 2. Déterminons une valeur approchée à 0, 1 près de la solution de l'équation f ( x) = 0. Étape m Remarques Graphique 1 [0; 1] 0, 5 f ( a) × f ( m) > 0 La solution est donc dans l'intervalle [0, 5; 1]. e = 1 – 0, 5 = 0, 5 > 0, 1, donc on continue. 2 [0, 5; 1] 0, 75 f ( a) × f ( m) < 0 [0, 5; 0, 75]. e = 1 – 0, 5 = 0, 25 > 0, 1, 3 [0, 5; 0, 75] 0, 625 [0, 625; 0, 75]. e = 0, 625 – 0, 75 = 0, 125 > 0, 1 4 [0, 625; 0, 75] 0, 6875 [0, 6875; 0, 75]. e = 0, 75 – 0, 6875 = 0, 065 < 0, 1, donc on s'arrête. La valeur approchée de la solution à 0, 1 près est donc environ égale à 0, 7. Pour résumer, cet algorithme s'écrit en langage naturel de la façon suivante: Fonction dicho(a, b, e) Tant que b–a > e m←(a+b)/2 Si f(a) × f(m)<0 alors b ← m Sinon a Fin Si Fin Tant que Retourner (a+b)/2 Fin Fonction b. Programme Programme Python Commentaires On importe la bibliothèque math.

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Déterminer dans quel(s) cas on peut comparer les nombres 1/u et 1/v Posté par Papy Bernie re: On considère la fonction définie par f(x)=1/x 16-10-09 à 16:25 Bonjour, tu n'es pas en 3ème!! a) x est valeur interdite car ça annule le déno donc Df=... b) f(x)=1/x f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x) La courbe de f(x) est sym par rapport à l'origine. c)Tu cherches. J'envoie ça déjà. Posté par Papy Bernie re: On considère la fonction définie par f(x)=1/x 16-10-09 à 16:51 d) f(a)=1/a f(b)=1/b f(a)-f(b)=1/a-1/b-->tu réduis au même déno qui est "ab" et ça donne bien: f(a)-f(b)=(b-a)/ab e) ab est > 0 car a et b < 0. Comme a < b alors (b-a) > 0. (b-a)/ab > 0 car numé et déno positifs. Donc f(a) - f(b) > 0 donc f(a) > f(b). Tu appliques: f est strictement décroissante si pour af(b) f) Ce sont les mêmes calculs. Tu concluras par: a > 0 et b > 0 donc ab.... et comme a < b alors (b-a)... Etc. g) quand x tend vers -, 1/x tend vers 0-. quand x tend vers +, 1/x tend vers 0+. quand x tend vers 0-, 1/x tend vers - quand x tend vers 0+, 1/x tend vers + Pas d'extremum (tu cherches la définition de ce terme).