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Thursday, 4 July 2024

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Premiers exemples: aires et volumes Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaissent comme des cas particuliers de la notion plus générale de déterminant. Pour les distinguer, la lettre majuscule D (Det) leur est parfois réservée. Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien Fig. 1. Le déterminant est l' aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie. ) bleue orientée. Soit P le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs X et X ' est donné par l'expression analytique ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique dans laquelle θ est l' angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts... ) orienté formé par les vecteurs X et X '. Propriétés La valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue. ) du déterminant est égale à l'aire du parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont... ) défini par X et X ' ( X 'sinθ est en effet la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé. )

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Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires lorsqu'il existe un nombre \(k\) non nul tel que \(\overrightarrow{u}=k \times \overrightarrow{v}\). Dans ce cas, les vecteurs ont: la même direction (mais pas forcément le même sens car cela dépend du signe de \(k\)), des longueurs qui vérifient \( ||\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{v}||\)) Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires alors les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles. Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires alors les points \(A, B, C\) sont alignés. Le déterminant de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}(x; y)\) et \(\overrightarrow{v}(x';y')\) est le nombre \( det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=xy'-x'y\) Lorsque le déterminant de deux vecteurs vaut 0 alors ils sont colinéaires

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Soient et deux points de. Alors, pour tout point appartenant à: et sont colinéaires. On a donc c'est-à-dire Donc En posant,, et on a donc. Si et alors et la droite est parallèle à l'axe des abscisses. Si et alors et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Démonstration au programme La relation s'appelle équation cartésienne de la droite. Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation Réciproquement, si le vecteur est un vecteur directeur de, alors une équation cartésienne de est (avec à déterminer). Si la droite a pour équation, alors le vecteur est un vecteur directeur de cette droite. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par) et 1. On calcule les coordonnées des vecteurs et 2. On utilise le déterminant de ces deux vecteurs. Ce déterminant est nul lorsque les points, et sont alignés. 3. On développe et on réduit l'expression pour obtenir la forme d'une équation cartésienne. SOLUTION Pour tout point de la droite, et sont colinéaires.

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on ne change pas un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres. le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure vaut le produit des éléments sur la diagonale. Ces deux dernières propriétés permettent notamment de calculer le déterminant par la méthode du pivot de Gauss. Déterminant d'un endomorphisme Théorème: Si $\mathcal B=(u_1, \dots, u_n)$ et $\mathcal B'=(v_1, \dots, v_n)$ sont deux bases de $E$, et si $f\in\mathcal L(E)$, alors $$\det_{\mathcal B}\big(f(u_1), \dots, f(u_n)\big)=\det_{\mathcal B'}\big(f(v_1), \dots, f(v_n)\big). $$ Cette valeur commune est notée $\det(f)$ et s'appelle déterminant de l'endomorphisme $f$. Le déterminant d'un endomorphisme vérifie les propriétés suivantes: Si $f, g\in\mathcal L(E)$, on a $\det(f\circ g)=\det(f)\det(g)$. $f\in\mathcal L(E)$ est un automorphisme si et seulement si $\det(f)\neq 0$. Dans ce cas, $\det(f^{-1})=\big(\det(f)\big)^{-1}$. Historiquement, les déterminants sont apparus avant les matrices. Ils étaient associés à un système linéaire pour "déterminer" si ce sytème admet une unique solution.

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Le plan étant muni d'un repère orthonormé ( O;, ), soient un vecteur donné et M le point du plan tel que. On note ( x; y) les coordonnées du point M. On peut écrire et aussi. Ainsi, tout vecteur du plan peut s'écrire sous la forme. Dire que le vecteur a pour coordonnées x et y dans la base orthonormée (, ) veut dire que. Pour indiquer les coordonnées du vecteur, on utilise la notation ou. Exemple Sur le graphique ci-dessous, muni d'une base orthonormée (, ), lire les coordonnées des vecteurs et. D'après le graphique, on a: et.

par Bernadette Perrin-Riou Dernière modif. 20041212