Montrer Qu’une Suite Est Géométrique - Mathématiques.Club — Belice Déodorant Solide

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Saturday, 27 July 2024

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence) Pour tout entier naturel n: u n+1 = u n + r Remarque: pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité: u n+1 - u n = constante. Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme, si on connaît le troisième terme u 2 de la suite, en effet il faut calculer u 3, puis u 4,....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u 28 (29 ème terme) Expression de u n en fonction de u 0 et de n On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation: Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u 0 par n'importe quel terme u p de la suite. On peut comprendre aussi cette formule de cette façon: u n = u p + (n - p)r Remarques: en fait toute suite explicitement définie par u n = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = b et de raison a.

Suites Arithmétiques Et Géométriques - Maths-Cours.Fr

Cas particulier pour tout réel n, on a:. Pour démontrer qu'une suite ( u n) est arithmétique, il faut calculer la différence: Si on obtient un nombre réel indépendant de n, alors la suite est arithmétique, sinon elle n'est pas arithmétique. Remarque: pour calculer Un+1, il suffit de remplacer n par (n+1) dans la formule Un=f(n) 2. Suites géométriques Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même facteur (la raison que l'on note q). Le terme général d'une suite géométrique est: (formule Un en fonction de n) Enfin la somme des ( n +1) premiers termes d'une suite géométrique ( u 0 + u 1 +…+ u n) de raison q différente de 1 est égale à: Pour tout réel q différent de 1, on a:. Pour démontrer qu'une suite ( u n) est géométrique, il faut calculer le rapport: Si on obtient un nombre réel indépendant de n alors la suite est géométrique, sinon elle n'est pas géométrique. Remarques: – pour calculer Un+1, il suffit de remplacer n par (n+1) dans la formule Un=f(n) – attention pour calculer un rapport, le dénominateur doit être différent de 0 3.

Montrer Qu'une Suite Est Arithmétique

Exemple corrigé Soit la suite arithmético-géométrique suivante: \begin{array}{l} u_0 = 5 \\ \forall n \in \N, \ u_{n+1}=2u_n + 1 \end{array} Exprimer u n en fonction de n. Résolution: On cherche d'abord un point fixe: \begin{array}{l} l=2l +1\\ \Leftrightarrow l = -1 \end{array} On va donc poser \forall n \in \N, v_n = u_n + 1 v n est alors une suite géométrique de raison a = 2. On a donc: v_n = 2^n v_0=2^n(u_0+1) = 6\times 2^n Et finalement, on obtient u n: \begin{array}{l} u_n = v_n-1 \\ u_n= 6\times 2^n -1 \end{array} Et pour résoudre les suites arithmético-géométriques, c'est toujours cette méthode! Il faut juste faire attention que ce n'est pas juste une suite arithmétique ou une suite géométrique. Exercices Exercice 1 – Issu du bac Liban ES/L 2013 On considère la suite (u n) définie par u 0 =10 et pour tout entier naturel n, u ​ n+1 ​​ = 0, 9u n ​​+ 1, 2 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par v n = u n -12 Démontrer que la suite (v n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Exercice&Nbsp;: Comment DÉMontrer Qu'une Suite Est Ou N'est Pas ArithmÉTique [Les Suites]

En posant r=2, on a bien, pour tout entier naturel n: u_{n+1}-u_{n}=r Etape 3 Conclure sur la nature de la suite Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme. On peut donc conclure que la suite \left( u_n \right) est une suite arithmétique de raison 2. Son premier terme vaut: u_0=\dfrac{v_0}{v_{1}-\dfrac{1}{2}v_0}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=-1

Suite Arithmétique Ou Géométrique ? - Maths-Cours.Fr

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme. Voir la solution Soit $n$ un entier naturel. $v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =(3u_n-4)-2$ d'après l'énoncé. $\qquad =3u_n-6$ $\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$) $\qquad =3v_n$ Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3. De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$. Niveau difficile On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$. $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d'après l'énoncé. $\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$ $\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$ $\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$ $\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$ $\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$ $\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$ $\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$ Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.

Montrer Qu&Rsquo;Une Suite N&Rsquo;Est Pas Arithmétique Ou Géométrique | Méthode Maths

Mais dans ce cas tous les termes de la somme valent 1; la somme est donc égale au nombre de termes n + 1 n+1 On multiplie chaque membre par q q.

Autres liens utiles: Exercices corrigés suites arithmétiques ( Première S ES L) Voir le cours sur les suites Géométriques ( Première S ES et L) Somme de Termes d'une suite Arithmétique / Géométrique ( Première S) Au cas où tu as des questions sur les suites arithmétiques, n'hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas de ce cours. Si ce cours t' a plu, tu peux le partager avec tes amis pour qu'eux aussi puissent en profiter 😉!

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