Maisons À Vendre À Lessy, Propriété Des Exponentielles
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Propriétés De L'exponentielle - Maxicours
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Lorsqu'on définit la fonction exponentielle à partir de la fonction logarithme, on en déduit immédiatement (cf. chap. 2) les propriétés algébriques ci-dessous. Lorsqu'on définit comme solution d'une équation différentielle, on parvient à les démontrer directement. Propriété fondamentale [ modifier | modifier le wikicode] Propriété Démonstration Posons, pour fixé, (on sait depuis le chapitre 1 que). Alors, et pour tout x:. D'après ce théorème, pour tout. On a bien montré que pour tous x et y,. Les fonctions continues vérifiant cette même équation fonctionnelle seront étudiées au chapitre 8. 1ère - Cours - Fonction exponentielle. On verra qu'elles coïncident avec les solutions de l'équation différentielle générale rencontrées au chapitre 1. Conséquences [ modifier | modifier le wikicode] Les formules suivantes se déduisent de la propriété algébrique fondamentale. Pour tous réels et,. Pour tout réel et tout entier relatif,. Soient. On sait (chap. 1) que. On en déduit: Soit: On note, pour tout la propriété: « » Initialisation: Pour n = 0, donc est vraie Soit tel que soit vraie Donc est vraie.
Cette propriété se traduit mathématiquement par l'équation suivante: Imaginons que T représente la durée de vie d'une ampoule à LED avant qu'elle ne tombe en panne: la probabilité qu'elle dure au moins s + t heures sachant qu'elle a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. Propriétés de l'exponentielle - Maxicours. En d'autres termes, le fait qu'elle ne soit pas tombée en panne pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t. Il est à noter que la probabilité qu'une ampoule « classique » (à filament) tombe en panne ne suit une loi exponentielle qu'en première approximation, puisque le filament s'évapore lors de l'utilisation, et vieillit. Loi du minimum de deux lois exponentielles indépendantes [ modifier | modifier le code] Si les variables aléatoires X, Y sont indépendantes et suivent deux lois exponentielles de paramètres respectifs λ, μ, alors Z = inf( X; Y) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ + μ.
Loi Exponentielle — Wikipédia
EXPONENTIELLE - Propriétés et équations - YouTube
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1Ère - Cours - Fonction Exponentielle
Lien avec d'autres lois [ modifier | modifier le code] Loi géométrique [ modifier | modifier le code] La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées. Propriété — Si X suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si alors Y suit la loi géométrique de paramètre Notons que, pour un nombre réel x, désigne la partie entière supérieure de x, définie par En choisissant on fabrique ainsi, à partir d'une variable aléatoire exponentielle X ' de paramètre λ une variable aléatoire, suivant une loi géométrique de paramètre p arbitraire (avec toutefois la contrainte 0 < p < 1), car X =λ X' suit alors une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1). Réciproquement, Propriété — Si, pour, la variable aléatoire Y n suit la loi géométrique de paramètre p n, et si alors a n Y n converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre λ. Démonstration On se donne une variable aléatoire exponentielle λ de paramètre 1, et on pose Alors Y n et Y n ' ont même loi, en vertu de la propriété précédente.