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Les zéros correspondent aux solutions de l' équation et le signe est décrit par l'ensemble des solutions de l'une ou l'autre inéquation: Fonction définie sur l'ensemble des réels comme différence de fonctions strictement croissantes. Les méthodes de décomposition en fonctions de référence ne permettent pas d'obtenir les variations de la fonction. Dans certains cas simples, les variations de la fonction peuvent être obtenues à l'aide d'un tableau de décomposition de la fonction en fonctions de référence, mais cette méthode ne peut aboutir dès lors qu'intervient une opération pour laquelle les variations du résultat ne peuvent être déduites des variations des opérandes. Si la fonction est dérivable, le calcul de la dérivée et l'étude du signe de celle-ci permettent en général de déterminer plus efficacement les variations de la fonction. L'étude de fonction peut se poursuivre avec la détermination des limites aux bornes du domaine de définition, puis par la recherche d' asymptotes à la courbe.

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Pour prouver que $\sum_n u_n$ converge uniformément sur $I$, il faut donc obtenir une inégalité du type $$|R_n(x)|\leq \varepsilon_n$$ valable pour tout $x\in I$, où $(\varepsilon_n)$ tend vers 0. Pour cela, on utilise les techniques classiques des séries numériques, notamment le critère des séries alternées, ou la comparaison à une intégrale. Le critère des séries alternées est particulièrement utile, car il permet de majorer très facilement le reste. Une bonne pratique de rédaction - La phrase "$(f_n)$ converge uniformément vers $f$" ne signifie rien. Il faut toujours écrire "$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ ". De même pour la convergence normale. Comment prouver que la limite d'une suite ou d'une série de fonctions est continue, $C^\infty$,...? - Il suffit d'appliquer les théorèmes généraux rappelés plus haut, et utiliser un argument de convergence uniforme sur $I$. On peut se contenter de faire un peu moins. Par exemple, si chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb R$ et si la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment $[a, b]\subset\mathbb R$ vers $f$, alors $f$ est continue sur $\mathbb R$ tout entier.

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Concavité et points d'inflexion Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f ' est dérivable sur I alors: f est convexe sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est superieure ou égale à 0 f est concave sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est inférieure ou égale à 0. La courbe représentative de la fonction f a un point d'inflexion d'abscisse c si et seulement si f '' s'annule en changeant de signe en c. 7. Représentation graphique On trace les asymptotes et tangentes on place les points critiques et les point d'inflexion on trace la courbe avec l'ensemble des autre indices recueillis durant l'etude Limite de f(x) quand x tend vers c+ =l'infini Point fixe On dit que x appartenant à Df est un point fixe de f si f(x) = x • f est convexe sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est superieure ou égale à 0 • f est concave sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est inférieure ou égale à 0.

On trace donc les asymptotes verticales x = π/2 + k ·π, la tangente de pente 1 aux points d'inflexion ( k ·π, 0), puis on trace la fonction à main levée.

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