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Adaptations et hommages [ modifier | modifier le code] Tolkien a laissé plusieurs illustrations de la Montagne Solitaire, dont deux sont parues dans Le Hobbit en 1937: « La Grande Porte » ( The Front Gate), une vue extérieure en noir et blanc, et « Conversation avec Smaug » ( Conversation with Smaug), une aquarelle représentant la grande salle souterraine où le dragon a amassé les trésors des nains. Fond d'écran | Seychelles : Ile de la Digue. Tolkien a également réalisé une illustration en noir et blanc de la Montagne tout entière, de nuit, intitulée « La Montagne Solitaire » ( The Lonely Mountain), mais elle n'a pas été retenue pour Le Hobbit, vraisemblablement parce que le ciel nocturne, qui occupe une bonne moitié de l'image, aurait été trop difficile à reproduire. Plusieurs croquis et plans de la Montagne, réalisés durant la rédaction du Hobbit, ont été publiés dans J. Tolkien: Artiste et Illustrateur et dans Le Hobbit annoté. Un jeu de société The Lonely Mountain: Lair of Smaug the Dragon est commercialisé par Iron Crown Enterprises en 1984.
Le Royaume sous la Montagne connaît alors une période prospère, notamment grâce au commerce avec les hommes de la ville du Val, édifiée au pied de la Montagne. Le dernier des grands dragons ailés, Smaug le Doré, est appâté par les richesses des nains. En 2770, il s'abat par surprise sur la Montagne, détruit la ville du Val et chasse les nains d'Erebor. Il rassemble leurs trésors en une grande pile dans la plus profonde des salles de la cité naine. Fond d ecran du mont blanc 2022. La région alentour, jadis verdoyante, devient un désert où nul n'ose s'aventurer: la Désolation de Smaug. Le Hobbit [ modifier | modifier le code] En 2941 T. A., Thorin II, petit-fils de Thrór, mène douze Nains et un Hobbit, Bilbon Sacquet, dans une expédition destinée à dérober au dragon une partie de son trésor afin de redresser la fortune des Nains. Des paroles inconsidérées de Bilbon poussent toutefois Smaug à attaquer la ville d' Esgaroth, au sud d'Erebor. Au cours de cette attaque, il est tué par l'archer Bard, descendant des anciens seigneurs de Dale.
Ceci étant dit. Que fait le bon étudiant s'il veut quand même résoudre au mieux l'exercice ou avancer dans son sujet pour grappiller des points: il ouvre son bouquin (ou sa mémoire) et cherche s'il n'a pas un théorème à disposition. Ah! Excellente nouvelle, notre bouquin qui respecte parfaitement le programme de prépa/L1-L2 contient la règle de d'Alembert, la règle de Raabe-Duhamel ET la règle de Gauss pour les séries où on a des informations sur $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Essayons donc de les utiliser (cherche-les dans ton bouquin, et aie-les sous les yeux). Remarque: tu verras dans ce que je vais raconter que cet exercice est excellent pédagogiquement parce qu'il va nous forcer à utiliser (donc nous permettre de comprendre comment utiliser, et de retenir!!! ) les trois et, en passant, permettre à ceux qui sont attentifs de voir le lien entre elles. Règle de raabe duhamel exercice corrigé sur. La première est la règle de d'Alembert. Il faut regarder la limite $L$ de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ici, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1-\dfrac{1}{n+a+1}\longrightarrow 1$.
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π/n 0 x3 π/n dx ≤ 1 + x 0 x 3 dx ≤ π4. 4n4 3. Remarquons d'abord que un > 0 pour tout entier n. Supposons d'abord α > 0. Alors, puisque e−un ≤ 1, la suite (un) converge vers 0, et donc e−un → 1. Il vient un ∼+∞ 1 nα, et donc la série converge si et seulement si α > 1. Règle de raabe duhamel exercice corrigé de la. Supposons maintenant α ≤ 0. Alors la suite (un) ne peut pas tendre vers 0. Si c'était le cas, on aurait un+1 = e−un /nα ≥ e−un ≥ e−1/2 dès que n est assez grand, contredisant la convergence de (un) vers 0. 7
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\frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta}, \ \alpha, \beta\in\mathbb R. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}xdx. $$ \[ u_n=(-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{n\pi+t}dt. \] Démontrer alors que $\sum u_n$ est convergente. Démontrer que $|u_n|\geq \frac2{(n+1)\pi}$ pour tout $n\geq 1$. En déduire que $\sum_n u_n$ ne converge pas absolument. Enoncé Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n}, $$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, $a\neq 0$. Enoncé Suivant la position du point de coordonnées $(x, y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}. $$ Enoncé On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrer que la série de terme général $u_n$ converge. Tous les articles de la catégorie Exercices corrigés de séries - Progresser-en-maths. Soit $n\geq 1$ fixé. On pose $$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}. $$ Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$.
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Question pour toi: le corrigé donne-t-il une forme explicite $u_n=f(n)$ ou non? Si oui, donne-la moi, sinon, continue à lire. Je disais donc qu'à ce stade, techniquement, je suis potentiellement bloqué. Là, ce que tu fais à chaque fois, c'est venir sur le forum pour râler, dire que c'est infaisable pour X raison, et c'est là que tu fais ta première erreur: tu arrêtes de réfléchir et d'utiliser tes ressources à fond. Cependant, je te donne une circonstance atténuante: si l'exercice est posé de façon trompeuse (ici, il donne l'impression qu'on peut donner une écriture explicite de $u_n$, et qu'elle est nécessaire pour continuer), c'est normal de galérer, c'est pour ça que j'écris ici. Exercices corrigés -Séries numériques - convergence et divergence. D'où l'intérêt de nous écouter quand on te dit que le bouquin est mauvais! J'ai déjà dit que le Gourdon contient le même exercice, mais posé différemment (surtout: posé mieux), donc je vais y faire référence plusieurs fois. Pour information: l'exercice version Gourdon est littéralement "à quelle condition sur $a$ et $b$ la série converge-t-elle, calculer la somme quand c'est le cas. "