Cours Loi De Probabilité À Densité Terminale S Inscrire
Cette fonction est donc une fonction de densité sur \left[0;2\right].
Cours Loi De Probabilité À Densité Terminale S Website
E X = ∫ 0 1, 5 t × f t d t = ∫ 0 1, 5 64 t 4 27 - 64 t 3 9 + 16 t 2 3 d t = 64 t 5 135 - 16 t 4 9 + 16 t 3 9 0 1, 5 = 3, 6 - 9 + 6 = 0, 6 Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0, 6 h soit 36 minutes. 4 - Probabilité conditionnelle Soient X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I, J 1 et J 2 deux intervalles de I tel que P X ∈ J 1 ≠ 0. La probabilité conditionnelle de l'évènement X ∈ J 2 sachant que l'évènement X ∈ J 1 est réalisé est: P X ∈ J 1 X ∈ J 2 = P X ∈ J 1 ∩ J 2 P X ∈ J 1 exemple Calculons la probabilité que le temps d'attente d'une personne soit inférieur à une heure sachant qu'elle a patienté plus d'une demi-heure. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle P X > 0, 5 X ⩽ 1 = P 0, 5 < X ⩽ 1 P X > 0, 5. TES/TL – Exercices – AP – Lois de probabilité à densité - Correction. Or P X > 0, 5 = 16 27 et, P 0, 5 < X ⩽ 1 = ∫ 0, 5 1 64 t 3 27 - 64 t 2 9 + 16 t 3 d t = 13 27 d'où P X > 0, 5 X ⩽ 1 = 13 27 16 27 = 13 16 = 0, 8125 Ainsi, la probabilité que le temps d'attente d'une personne qui a patienté plus d'une demi-heure soit inférieur à une heure est égale à 0, 8125. suivant >> Loi uniforme
Cours Loi De Probabilité À Densité Terminale S Video
•
• Pour tous réels c et d de I, p(c < X
< d) = p(X c) = p(X
c) = 1 - p(X
Remarques
• Toutes ces propriétés doivent
s'appliquer sans avoir à
réfléchir…
• On considère que le résultat ne
change pas si l'intervalle I = [a; b] est ouvert
(par exemple I = [a; b[) ou que l'une (ou les 2)
des bornes soit infinie
(I = [a; ∞[). • Comprendre que pour une fonction de densité
de probabilité sur I = [a; b], pour tout
réel c de I, p(X = c) = 0. Il est vrai que
ce qui démontre le résultat. Il s'agit ici d'essayer de comprendre ce
qu'il se passe:
1. Sur le segment [0;
1], posons une bille de diamètre 1. Elle occupe
toute la place, la probabilité de prendre une
bille sur le segment est donc 1. 2. Cours loi de probabilité à densité terminale s website. Sur le même
segment [0; 1], posons dix billes de diamètre
0, 1. Elles occupent toute la place (en longueur), la
probabilité de prendre une bille sur le segment
est donc 0, 1.
Cours Loi De Probabilité À Densité Terminale S Youtube
Ce que tu dois savoir sur cette fonction c'est son f, c'est-à-dire sa densité de probabilité. Si X est une loi uniforme sur l'intervalle [a;b], alors pour tout x appartenant à [a;b]:
Et f(x) vaut 0 en dehors de l'intervalle [a;b]
Comme tu le vois ce n'est pas trop dur^^
Pour l'espérance on va faire le petit calcul: soit f la densité d'une loi uniforme sur un intervalle [a;b]
ATTENTION! Cours loi de probabilité à densité terminale s video. f ne vaut 1/(b-a) que sur l'intervalle [a;b], il faut donc découper notre intégrale en trois intégrales grâce au théorème de Chasles:
car f(x) = 0 en dehors de l'intervalle [a;b]mais vaut 1/(b-a) sur l'intervalle [a;b]
car 1/(b-a) est une constante
Et donc voilà la formule que l'on souhaitait:
Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle [a;b]:
Au-delà de la formule que tu dois savoir, c'est surtout le début du calcul qui est important et le principe: quand tu remplaces f, il faut faire très attention à ce que vaut f!!! Car très souvent f ne vaut pas la même chose suivant l'intervalle sur lequel on est, ici f valait 1/(b-a) sur l'intervalle [a;b] mais 0 en dehors de cet intervalle.
Exemple: P (X ≥ 5) (X ≥ 20) = P(X ≥ 15): la probabilité que X soit supérieur à 20 sachant qu'il est déjà supérieur à 5, c'est la probabilité qu'ils soit plus grand que 15. Pour une machine à laver par exemple, qu'elle ait 5 ans ou qu'elle soit neuve, elle aura la même probabilité de tomber en panne d'ici 15 ans (si on suppose que sa durée de vie suit une loi exponentielle). On demande assez souvent de démontrer ce résultat, voici donc la démonstration (à savoir refaire du coup!! Loi de probabilité à densité et loi uniforme sur un intervalle - Maxicours. ):
(on applique la formule de la probabilité conditionnelle)
Or X ≥ t ∩ X ≥ t+h = X ≥ t+h (car [t;+∞[ ∩ [t+h;+∞[ = [t+h;+∞[) donc
d'après la formule vue un peu plus haut
Et voilà! A savoir refaire évidemment…
Avec ces exercices sur la loi exponentielle, ça ne devrait pas te poser de problèmes^^
Surtout que ce sont des exercices d'annales de bac!! La loi normale est un peu plus compliquée que les précédentes, ce pourquoi on va très souvent se ramener à ce que l'on appelle une loi normale centrée réduite. Qu'est-ce-que c'est que ce charabia?
Concrètement, la densité (le f) d'une loi centrée réduite ressemble à cela:
Oui et alors? Et bien on va voir quelque chose d'intéressant: on a dit que
Autrement dit c'est l'aire sous la courbe de f de t à +l'infini, car une intégrale est une aire (voir chapitre sur les intégrales). Graphiquement:
Mais si on fait P(X < -t), on obtient:
Graphiquement:
Et comme on a dit que la loi était symétrique par rapport à l'axe des ordonnées:
Pour une loi normale centrée réduite
Et pour calculer P(-t < X < t)? Et bien cela correspond à l'aire entre -t et t. Or on a dit que
ce qui signifie que l'aire sous toute la courbe vaut 1. Loi à densité : Terminale - Exercices cours évaluation révision. Donc d'après ce schéma:
Et l'aire rouge? Et bien c'est P(X < -t) + P(X > t). Or on a vu que ces deux probabilités étaient égales, donc:
Aire rouge = 2 P(X < -t) ou 2 P(X > t). D'où:
Cette formule n'est pas nécessairement à savoir par coeur mais il faut savoir la retrouver et surtout savoir faire le même type de raisonnement par rapport au fait que la densité d'une loi centrée réduite est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.