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54 CHAPITRE III NOS CONTRIBUTIONS POUR LES SYSTEMES DE RECOMMANDATION 55 Introduction Ce chapitre présente nos apports sur l'algorithme de filtrage collaboratif. La première partie présente notre nouvel algorithme de filtrage collaboratif, qui intègre une combinaison entre la similarité en se basant aussi bien sur les notes d'items que sur leurs attributs, dans un modèle convexe. Les paramètres de pondération de ce modèle est une fonction de temps qui tient compte de la contribution de ces deux similarités, qui fait décroitre progressivement l'influence des anciennes notes et résoudre le problème de la rareté. Le calcul de la similarité est précédé par la formation du voisinage de l'item cible, la première méthode utilisée est celle de l'approche simple de regroupement k-means, pour avoir des items dans différents groupes. Cette méthode a connu des limites à cause du problème de sparcity. Arbres et arborescens restaurant. Pour pallier à cette limitation et augmenter la précision de notre modèle, nous avons opté pour une approche systémique issue de la Technologie du Groupe.
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- Arbres couvrants de poids minimum Considérons le problème qui consiste à relier n villes par un réseau câblé de la manière la plus économique possible. On suppose connue la longueur la longueur de câble nécessaire pour relier les villes i et j. Le réseau doit évidemment être connexe et il ne doit pas admettre de cycles pour être de coût minimal; c'est donc un arbre et ce doit être l'arbre maximum le plus économique. Le problème à résoudre se pose donc dans les termes suivants: Soit un graphe non orienté G, connexe, pondéré par une fonction positive attachée aux arêtes. Soit un arbre couvrant T = (X, B) définit comme graphe partiel de G avec un ensemble d'arêtes B. Son poids (ou coût) total est: On dit que T est un arbre couvrant de poids minimal de G si l(T) est minimal parmi les poids de tous les arbres couvrants possibles de G. 52 minimal est unique. Plusieurs algorithmes ont été proposés pour résoudre ce problème [147]. Arbres et arborescens -. Dans ce qui suit nous allons présenter quelques algorithmes qui utilisent les graphes dans les systèmes de recommandations.
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Dans la figure 20, les sommets pendants sont C, D, H, I, J, K, L. Ce sont les sommets de degré 1. On remarque la présence d'un sommet de degré 3 ( G) et de sommets de degré 4 ( B, E). Théorème 22. Soit H un graphe ayant n sommets. Les propositions suivantes sont équivalentes: a) H est connexe et sans cycle (donc est un arbre); b) H est sans cycle, et admet n – 1 arêtes; c) H est connexe, et admet n – 1 arêtes; d) H est sans cycle, et, en ajoutant une arête entre deux sommets non adjacents, on crée un cycle et un seul; e) H... BIBLIOGRAPHIE (1) - AHO (A. ), HOPCROFT (J. ), ULLMAN (J. ) - Structures de données et algorithmes. - Addison-Wesley/Interéditions 1987. (2) - AHUJA (R. -K. ), MAGNANTI (T. Arbres et arborescens est. -L. ), ORLIN (J. -B. ) - Network Flows: Theory, Algorithms and Applications (Flots dans les réseaux: théorie, algorithmes et applications). Prentice Hall (USA), 1993. (3) - AVONDO-BODINO (G. ) - Economic Applications of the Theory of Graphs (Applications de la théorie des graphes en économie). Gordon and Breach (USA), 1962.
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- Définitions et propriétés Définition 51 Un arbre est un graphe connexe sans cycles. Un graphe sans cycle qui n'est pas connexe est appelé une forêt (chaque composante connexe est un arbre). Par définition même, un arbre est donc un graphe simple. On constate également que T = (X, T) est un arbre si et seulement s'il existe une chaîne et une seule entre deux sommets quelconques. Etant donné un graphe quelconque G = (X, A), un arbre de G est un graphe partiel connexe et sans cycles. Si ce graphe partiel inclut tous les sommets du graphe G, l'arbre est appelé arbre maximum ou arbre couvrant. Une forêt de G est un graphe partiel sans cycle de G (non nécessairement connexe). Une forêt maximale de G est une forêt de G maximale pour l'inclusion (l'ajout d'une seule arête supplémentaire du graphe à cette foret crée un cycle). Arborescence — Wikipédia. Un graphe G est une arborescence s'il existe un sommet R appelé racine de G tel que, pour tout sommet S de G, il existe un chemin et un seul de R vers S. La notion d'arborescence couvrante se définit comme celle d'arbre couvrant, mais elle est plus délicate car il faut trouver une racine (qui n'existe pas toujours).
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Un arbre binaire équilibré ou arbre AVL est un arbre binaire tel que les hauteurs des deux sous-arbres de tout noeud de l'arbre diffèrent de 1 au plus. Un sous-arbre d'un arbre AVL est aussi un arbre AVL. L'indicateur sur les sommets indique la différence entre la hauteur du sous-arbre gauche et la hauteur du sous-arbre droit. Lorsque l'arbre est déséquilibré, il faut alors permuter les sommets parents et la racine tout en conservant l'ordre des sous-arbres (voir la suite sur les arbres de recherche). Arborescences. Nous pouvons agrandir la définition sur les arbres de degré supérieur (arbre ternaire etc). Seul le coefficient 2 est modifié en fonction du nombre de fils définis par le type d'arbre. Arbre de recherche Un arbre de recherche est une structure de données permettant de représenter un ensemble de valeurs si l'on dispose d'une relation d'ordre sur ces dernières. Les opérations standards sur les arbres de recherche sont: l'insertion, la suppression ou la recherche d'une valeur. Ces opérations sont peu coûteuses si l'arbre est équilibré.
Un arbre est un graphe à la fois connexe et sans cycle. Si on rajoute un arc u à un graphe, 2 cas exclusifs peuvent se produire: 1) Le nombre de composantes connexes diminue (-1), ce qui implique que u n'appartient à aucun cycle dans le nouveau graphe. 2) Le nombre de composantes connexes reste inchangé, ce qui implique que u appartient à un cycle du nouveau graphe, puisqu'il relie deux sommets appartenant à la même composante connexe, donc reliés par une chaîne. En utilisant cette propriété, pour construire un graphe à partir de sommets isolés, par adjonction successive d'arcs, on montre aisément que: - Un graphe connexe d'ordre n doit posséder au moins n-1 arcs. - Un graphe sans cycle d'ordre n possède au plus n-1 arcs. - Un arbre possède exactement n-1 arcs. Théorème: Les 6 propositions suivantes sont équivalentes et caractérisent un arbre: (1) G est connexe et sans cycle (2) G est sans cycle avec n-1 arcs (3) G est sans cycle et est maximal pour cette propriéte (i. e. toute adjonction d'arc crée un cycle) (4) G est connexe avec n-1 arcs (5) G est connexe, minimal pour cette propriété (i. toute suppression d'arc le rend non connexe) (6) Tout couple de sommets du graphe est relié par une chaîne unique Une forêt est un graphe dont les composantes connexes sont des arbres.
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