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Formules d'intégrations par parties à plusieurs variables [ modifier | modifier le code] L'intégration par parties peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du théorème de Stokes comme le théorème du gradient ou le théorème de la divergence) à une opération généralisant la règle de dérivation d'un produit. Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles. Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green. Exercice intégration par partie et. Un exemple faisant intervenir la divergence [ modifier | modifier le code] Par exemple, si u est à valeurs scalaires et V à valeurs vectorielles et toutes deux sont régulières, on a la règle de la divergence d'un produit Soit Ω un ouvert de ℝ d qui est borné et dont la frontière Γ = ∂Ω est lisse par morceaux.

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Appliquer le théorème de la divergence donne:, où n est la normale sortante unitaire à Γ. On a donc. On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement lipschitzienne et les fonctions u et V appartenir aux espaces de Sobolev H 1 (Ω) et H 1 (Ω) d. Exercice intégration par partie de ce document. Première identité de Green [ modifier | modifier le code] Soit ( e 1,...., e d) la base canonique de ℝ d. En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à u i et v e i où u et v sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties, où n = ( n 1,...., n d). Considérons maintenant un champ de vecteurs régulier En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à u i et v e i et en sommant sur i, on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties. La formule correspondante au cas où U dérive d'un potentiel u régulier:, est appelée première identité de Green:. Notes et références [ modifier | modifier le code] Voir aussi [ modifier | modifier le code] J.

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Posons donc: On en déduit facilement: Appliquons bêtement la formule. Soit: Donc, l'aire sous la courbe représentative de la fonction entre les droites d'équations x = 1 et x = e et l'axe des abscisses est égale à.

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une petite erreur sans doute Posté par littleguy re: double intégration par partie 28-03-10 à 19:54

Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l' équation fonctionnelle de la fonction gamma. Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer [ 1] que et de même,, où le réel C est une constante d'intégration. Généralisations [ modifier | modifier le code] On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C 1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable). Plus généralement, si u et v sont n fois différentiables et si leurs dérivées n -ièmes sont réglées, on dispose de la « formule d'intégration par parties d'ordre n » [ 2]:. Si, sur [ a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors, pour toute fonction v telle que. Exercices d'intégration par parties - Progresser-en-maths. La démonstration [ 3] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.