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Friday, 5 July 2024
Si deux valeurs absolues non triviales sont équivalentes, alors pour un exposant e nous avons | x | 1 e = | x | 2 pour tout x. Élever une valeur absolue à une puissance inférieure à 1 entraîne une autre valeur absolue, mais augmenter à une puissance supérieure à 1 n'entraîne pas nécessairement une valeur absolue. (Par exemple, la mise au carré de la valeur absolue habituelle sur les nombres réels donne une fonction qui n'est pas une valeur absolue car elle enfreint la règle | x + y | ≤ | x | + | y |. ) Valeurs absolues jusqu'à l'équivalence, ou dans en d'autres termes, une classe d'équivalence de valeurs absolues, s'appelle un lieu. Le théorème de Ostrowski indique que les lieux triviaux des nombres rationnels Q sont l'ordinaire valeur absolue et la p -adique valeur absolue pour chaque prime p. Pour un nombre premier p donné, tout nombre rationnel q peut s'écrire p n ( a / b), où a et b sont des entiers non divisibles par p et n est un entier. La valeur absolue p -adique de q est Puisque la valeur absolue ordinaire et les valeurs absolues p -adiques sont des valeurs absolues selon la définition ci-dessus, elles définissent des lieux.

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08/01/2020, 19h46 #1 Primitive de la valeur absolue ------ Bonsoir à vous membres du forum. S'il vous je travaille sur les intégrales généralisées j'aimerais connaître comment calculer la primitive de |x|^n. Et dans mon cas comment c'est la primitive de 1/|x^1/3|. *JE VOUS REMERCIE* ----- 08/01/2020, 19h55 #2 gg0 Animateur Mathématiques Re: Primitive de la valeur absolue Bonjour. Comme pour toute fonction continue, il y a une infinité de primitives. Donc écrire "calculer la primitive de |x|^n" n'a pas de sens. Par contre la primitive de |x|^n qui est nulle en 0 (cette fois-ci on écrit "la" parce qu'il n'y en a qu'une seule) est: Que tu peux facilement calculer dans les deux cas x<0 et x>0. Puis tu réécriras cette primitive en une seule formule, valable pour tout x, et tu en déduiras comment s'écrivent toutes les primitives de |x| n. Bon travail personnel! Discussions similaires Réponses: 4 Dernier message: 03/05/2015, 14h11 Réponses: 1 Dernier message: 22/11/2013, 21h12 Réponses: 10 Dernier message: 10/12/2007, 19h19 Réponses: 2 Dernier message: 09/12/2007, 22h40 Réponses: 5 Dernier message: 27/03/2006, 16h03 Fuseau horaire GMT +1.

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Analyse - Cours Première S Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer. Des liens pour découvrir Analyse - Cours Première S Analyse - Cours Première S Définition et ensemble de définition La fonction valeur absolue est définie sur l' ensemble des nombres réels: Sur l'intervalle]; 0] est définie par la relation f(x) = -x Sur l'intervalle [ 0; [) est définie par la relation f(x) = x La valeur d'un nombre réel correspond donc à ce même nombre s'il est positif et à son opposé s'il est négatif. En résumé cette fonction débarasse tout nombre de son signe négatif: toute image obtenue par cette fonction est donc un nombre positif. Notation On utilise une notation particulière pour l'image d'un nombre "x" par la fonction valeur absolue: La valeur absolue d'un nombre réel "x" est notée |x| (x entre deux barres) D'après la définition de la fonction valeur absolue: |x| = x si x est positif et |x| = -x si x est négatif Variations Sur l'intervalle des nombres réels négatifs la fonction valeur absolue est définie par f(x) = -x, elle est donc assimilable à une fonction affine de forme ax + b pour laquelle a = -1 et b=0.

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Mais dans la formule il y a la valeur absolue. Ceci est dû au fait que la valeur absolue représente la distance entre 2 points: Avec un exemple et une droite graduée on voit bien le principe: et en effet, la distance entre 5 et 3 est bien 2: De même pour 4 et -3: et en effet, la distance entre 4 et -3 est bien 7: Tu verras en Terminale qu'on fait exactement pareil avec les complexes. Mais généralement on n'utilise pas trop cela au lycée, c'est surtout les propriétés vues précédemment qui sont importantes. La fonction valeur absolue, c'est-à-dire f(x) = |x|, n'est pas forcément à connaître, ce qu'il faut savoir c'est comment manipuler et calculer des valeurs absolues. Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique En effet, on a vu que la valeur absolue était définie de la manière suivante: et La courbe est donc composée des courbes de y = -x sur]-∞; 0[ et y = x sur]0; +∞[ On peut voir graphiquement une petite propriété vue tout à l'heure: Graphiquement: On voit bien que si |x| = k il y a 2 solutions: x = k ou x = -k. Une petite remarque qui n'est pas fondamentale: la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0, la dérivée à gauche n'étant pas la même que la dérivée à droite.

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Inégalité triangulaire Voici l'inégalité triangulaire: \forall x, y \in \R, |x+y| \leq |x| + |y| Exemple: |3 -2| = 1 ≤ |3| + |2| = 5 Si vous voulez plus de détails, allez voir notre cours sur les inégalités triangulaires. Exemple Exemple 1 Résoudre |x+2| ≤ 4 D'après l'inégalité vu dans les propriétés, cela est équivalent à \begin{array}{ll}&-4 \le x+2\le 4\\ \Leftrightarrow& -4 \le x+2\text{ et} x+2 \le\ 4\\ \Leftrightarrow &-6 \le x\text{ et} x \le 2\\ \Leftrightarrow& x \in\left[-6;2\right]\end{array} Exemple 2 Résoudre |x+2| = |x+5|. D'après le résultat sur les égalités dans les propriétés, on obtient: \begin{array}{ll}&x+2\ =\ x+5\text{ ou} x+2 = -\left(x+5\right)\\ \Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou} 2x =-7 \\ \Leftrightarrow& 2 = 5\text{ ou} x = -\dfrac{7}{2}\end{array} 2 = 5 n'étant pas une solution valide, seule la deuxième solution est correcte.

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Interprétation graphique: Dans le cas d'une fonction positive, la valeur moyenne d'une fonction est le réel µ tel que l'aire du rectangle de hauteur µ et de base (b-a) ( rose + violet) soit égal à l'aire sous la courbe ( rose + bleu). Les aires des domaines D1 ( bleu) et D2 ( violet) sont identiques. Exemple 13 Démonstration Voir figure ci-dessous Dans le cas d'une fonction positive sur et, l'inégalité de la moyenne (i) traduit le fait que l'aire du domaine D ( +) comprise entre l'aire du rectangle de hauteur m et de base (b – a) (), et l'aire du rectangle de hauteur M et de même base ().

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