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Monday, 5 August 2024

FAQ sur Platon: "Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre" « Que nul n'entre s'il n'est géomètre » La tradition veut que cette phrase (1) ait été gravée à l'entrée de l'Académie, l'école fondée à Athènes par Platon. Mais que vaut cette tradition? Notons tout d'abord que cette tradition ne nous est connue que par des sources très tardives, postérieures d'au moins 10 siècles à Platon: elle est mentionnée par Jean Philopon, philosophe néoplatonicien chrétien qui vécut à Alexandrie au VIème siècle de notre ère et dont survivent plusieurs commentaires d'œuvres d'Aristote, dans son commentaire du De Anima d'Aristote ( in De An., Comm. in Arist. Graeca, XV, ed. M. Hayduck, Berlin 1897, p. 117, 29); par Elias, un autre philosophe néoplatonicien alexandrin du VIème siècle de notre ère, postérieur à Jean Philopon et, comme lui, chrétien, dans son commentaire des Catégories d'Aristote ( in Cat., Comm. in Arist. Graeca, XVIII, pars 1, ed. A. Busse, Berlin 1900, p. 118, 18); et aussi par Jean Tzetzès, auteur byzantin du début du XIIème siècle de notre ère, dans ses Chiliades (VIII, 974-7), où on la trouve sous la forme complète mentionnée dans la note 1.

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Ces différentes théories coexistent depuis qu'il existe des mathématiques, et il n'y a pas lieu de s'en inquièter dans la mesure où le statut qu'un mathématicien attribue aux objets mathématiques n'intervient en rien dans son activité de mathématicien: il ne concerne que la question ( extérieure au mathématiques) à savoir ce qu'il fait quand il fait des mathématiques. Si l'on ne sait pas de quoi l'on parle, comment savoir si ce qu'on dit est vrai? Russel joue ici sur la distinction entre vérité et validité: une théorie mathématique sera valide si elle n'enferme aucune contradiction, mais comment la dire "vraie" faute de toute expérience permetttant de la confronter à une réalité extérieure? Toutefois, la formule de Russel est encore trop timide: la véritable situation en mathématique n'est pas que l'on ne saurait pas si une théorie est vraie ou fausse, elle est qu'on sait parfaitement que la question de savoir si elle est vraie ou fausse n'a aucun sens en mathématique. On n'a le droit de poser la question de la vérité qu'à l'intérieure d'une théorie déja définie?

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Comment Russel peut-il définir comme la science dans laquelle on ne sait ni de quoi on parle, ni si ce qu'on en dit est vrai? La première partie de la phrase fait allusion au caractère formel des mathématiques: alors que les sciences de la nature étudient une fraction du réel relativement bien délimitée, les mathématiques n'ont pas pour objet un domaine de la réalité. Les objets mathématiques n'ont d'existence que dans la mesure où on les pense et où on les construit. Par exemple, un vrai cercle n'existe pas dans la nature, il n'existe en toute rigueur que dans l'esprit du mathématicien qui le définit et en déduit les propriétés. L'accord formel de tous les mathématiciens sur la définition du cercle et ses propriétés peut alors fort bien aller de paire avec un désaccord radical sur la nature des objets mathématiques: sagit-il d'entités idéales? D'abstractions obtenues à partir d'expériences sensibles, de cercles presque parfaits par exemple? Ou encore de simples constructions mentales?

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